29. 立体几何 · Mastering AMC 8

29.10%

正方体

在本节中，你将能够 求出正方体的体积、表面积，以及穿过它正中间的那条最长的对角线。

一个正方体盒子的棱长是 1 英尺。盒子里最长能藏下多长的直棍？比 1 英尺长，甚至比一个面的对角线还要长！

正方体有 6 个正方形的面、12 条相等的棱和 8 个顶点。棱长为 $a$ 时，它能装下 $a^3$ 个单位小正方体，6 个面的面积一共是 $6a^2$ 。

体对角线从一个顶点出发，笔直穿过正中间，到达相对的那个顶点。用两次勾股定理：先斜穿一个面，再向上。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“面对角线”。底面是边长为 1 的正方形。哪个直角三角形给出了对角线 √2？
试一试： 再按“体对角线”。新的直角三角形两条直角边是 √2 和 1。为什么它的斜边是 √3？
试一试： 把三条边都设成 2。体对角线变成 2√3 了吗？再试试边长 3。

认识概念

定理 29.1.1 · 正方体的体积和表面积

\text{正方体的体积} = (\text{棱长})^3 = a^3

\text{正方体的表面积} = 6 \times (\text{棱长})^2 = 6a^2

\text{正方体的体对角线长} = \sqrt{3} \times \text{棱长} = \sqrt{3}a

顺便一提，面对角线的长是 $\sqrt{2}a$ 。

看例题先预测，再揭晓

例 29.1

AMC 12

一个正方体的表面积是体积为 1 的正方体表面积的两倍。这个正方体的体积是多少？

1
一个正方体的体积是 1。它的棱长是多少？

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竞赛角真实竞赛题

习题 29.8.5

AMC 8

在正方体 $ABCDEFGH$ 中， $C$ 和 $E$ 是相对的两个顶点， $J$ 和 $I$ 分别是棱 $\overline{FB}$ 和 $\overline{HD}$ 的中点。设 $R$ 为截面 $EJCI$ 的面积与正方体一个面的面积之比。 $R^2$ 是多少？

习题 29.8.6

AMC 10A

七个正方体的体积分别是 1、8、27、64、125、216 和 343 立方单位，它们竖直叠成一座塔，从下往上体积依次减小。除了最下面的正方体，每个正方体的底面都完全落在它下面那个正方体的顶面上。这座塔的总表面积（包括底面）是多少平方单位？

过关检测（第 29.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

29.20%

棱柱

在本节中，你将能够 求出任意棱柱的体积和表面积，以及长方体的体对角线。

一个麦片盒厚 2 英寸、宽 8 英寸、高 12 英寸。做它要用多少纸板？把它展开，你会得到六个长方形，它们正好配成三对。

棱柱有两个一模一样的底面，中间用长方形连起来。长方体就是底面为长方形的棱柱。

对于任何棱柱，把底面一层层叠起来：体积就是底面积 × 高。把它展开就能看出表面积：两个底面，再加上一条长长的带子，带子的宽等于底面的周长。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 改变长、宽、高。把其中一条边加倍时，哪个读数增长得最快？
试一试： 按“展开”。你看到几个长方形？哪几对大小相同？
试一试： 切换到三棱柱。体积还是底面积乘以高吗？

认识概念

定理 29.2.1 · 长方体的体积和表面积

\text{长方体的体积} = l \times b \times h = \text{三条棱长的乘积}

\text{长方体的表面积} = 2(lb + bh + lh)

\text{长方体的体对角线长} = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}

定理 29.2.2 · 棱柱的体积

\text{棱柱的体积} = \text{底面积} \cdot \text{高}

定理 29.2.3 · 棱柱的表面积

\text{棱柱的表面积} = 2 \cdot \text{底面积} + \text{底面周长} \times \text{高}

把棱柱展开：两个底面，再加上一条长长的带子，带子的宽就是底面周长。

看例题先预测，再揭晓

例 29.2

AMC 8

下图是一个由长方形和直角三角形组成的多边形 $ABCDEFGH$ 。把它剪下来，沿虚线折叠，就能围成一个三棱柱。已知 $AH = EF = 8$ ， $GH = 14$ 。这个三棱柱的体积是多少？

1
长方形 $ABJH$ 折起来后是棱柱的一个侧面。它的哪条边是直角三角形 $BJG$ 的一条直角边？有多长？

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竞赛角真实竞赛题

习题 29.8.2

AMC 8

Isabella 用棱长 1 英尺的正方体积木搭一座长方体形状的堡垒，堡垒长 12 英尺、宽 10 英尺、高 5 英尺。地板和四面墙都是 1 英尺厚。这座堡垒一共用了多少块积木？

过关检测（第 29.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

29.30%

棱锥

在本节中，你将能够 求出棱锥的体积：它是同底等高的棱柱体积的三分之一。

把一个空心棱锥装满水，倒进一个同底等高的盒子里。要倒几次才能把盒子装满？先猜一猜，再动手试试。

棱锥有一个底面，还有几个倾斜的三角形侧面，它们交于一点，叫作顶点。它的高是从顶点笔直向下量到底面的距离。

任何棱锥的体积，都恰好是对应棱柱的三分之一。四面体就是底面为三角形的棱锥（三棱锥）。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“倒一次”。棱柱里的水升到多高？
试一试： 倒几次正好把棱柱装满？一个棱锥是棱柱的几分之几？
试一试： 改变底边和高。倒的次数会变吗？

认识概念

定理 29.3.1 · 棱锥的体积

\text{任意棱锥的体积} = \frac{1}{3} \cdot \text{底面积} \cdot \text{高}

高 $h$ 是从顶点笔直向下量到底面的距离。

定理 29.3.2 · 正四棱锥的体积（所有棱都相等）

当棱锥的底面是正方形，并且所有的棱都相等时，

\text{正四棱锥的体积} = \frac{\sqrt{2}}{6}s^3

定理 29.3.3 · 正四面体的体积（所有棱都相等）

\text{正四面体的体积} = \frac{\sqrt{2}}{12}s^3

看例题先预测，再揭晓

例 29.3

AMC 12

三角形 $ABC$ 的三边长分别为 5、6、7，它的一个顶点在 $x$ 轴正半轴上，一个在 $y$ 轴正半轴上，一个在 $z$ 轴正半轴上。设 $O$ 为原点。四面体 $OABC$ 的体积是多少？

1
设 $OA = a$ ， $OB = b$ ， $OC = c$ 。三条坐标轴两两垂直。哪个定理把 $a$ 、 $b$ 和 $AB = 5$ 联系起来？

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过关检测（第 29.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

29.40%

圆柱

在本节中，你将能够 通过把圆一层层叠起来、把侧面展开，求出圆柱的体积和表面积。

把汤罐头上的标签撕下来摊平。你得到什么形状？一个长方形！它的宽就是绕罐头一圈的长度。

圆柱就是底面为圆的“棱柱”。所以它的体积仍然是底面积 × 高： $\pi r^2 h$ 。

它的表面是两个圆加上侧面。侧面展开后是一个长方形，宽 $2\pi r$ ，高 $h$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把半径从 2 改成 4。体积变成原来的几倍？为什么不只是 2 倍？
试一试： 按“展开”。侧面变成了一个长方形。它有多宽？
试一试： 打开“截面”。每一片都是同样的圆。这怎样解释了 πr²h？

认识概念

定理 29.4.1 · 圆柱的体积和表面积

\text{圆柱的体积} = \pi r^2 h

\text{圆柱的表面积} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)

两个圆给出 $2\pi r^2$ 。侧面展开后是一个宽 $2\pi r$ 、高 $h$ 的长方形。

自己做

习题 29.8.1

AMC 8

Alex 和 Felicia 都养了猫。Alex 买的猫粮装在直径 6 厘米、高 12 厘米的圆柱形罐头里。Felicia 买的猫粮装在直径 12 厘米、高 6 厘米的圆柱形罐头里。Alex 的一罐与 Felicia 的一罐的体积之比是多少？

习题 29.8.10（补充题）

BmMT

Shivani 计划开车自驾游，车上装着用实心橡胶做的特殊新轮胎。她的轮胎是宽 6 英寸、直径 26 英寸的圆柱，但直径小于 22 英寸时就需要更换。轮胎制造商声称，轮胎每转一圈会磨损掉 $0.12\pi$ 立方英寸。假设制造商说的磨损速率是正确的，并且轮胎始终保持圆柱形和原来的宽度（通过减小半径来减少体积），那么每个轮胎在需要更换之前能转多少圈？

竞赛角真实竞赛题

习题 29.8.3

AMC 8

Jerry 从一段 6 厘米长的圆柱形香肠上切下一块楔形，切法如虚曲线所示。下面哪个选项最接近这块楔形的体积（单位：立方厘米）？

习题 29.8.9（补充题）

AMC 10A

一个白色的圆柱形筒仓直径 30 英尺、高 80 英尺。如图，在筒仓上漆了一条水平宽度为 3 英尺的红色条纹，条纹绕筒仓整整两圈。这条条纹的面积是多少平方英尺？

过关检测（第 29.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

29.50%

圆锥

在本节中，你将能够 求出圆锥的体积、斜高和表面积，并把它的侧面展开成一个扇形。

沿着一条直线剪开一顶派对帽，再把它摊平。你得到的不是三角形，而是一块披萨：一个扇形！

圆锥就是底面为圆的“棱锥”。所以它的体积是对应圆柱的三分之一： $\frac13\pi r^2h$ 。

斜高 $s$ 是从锥尖沿着侧面一直到底面边缘的长度（也叫母线）。把侧面展开：扇形的半径是 $s$ ，弧长等于底面的周长。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 读出半径、高和斜高。哪个直角三角形把它们联系在一起？
试一试： 按“展开”。侧面变成了一个扇形。它的弧有多长？
试一试： 让半径等于斜高……你做不到！为什么扇形总是比一个整圆小？

认识概念

定理 29.5.1 · 圆锥的体积和表面积

\text{圆锥的体积} = \frac{1}{3}\pi r^2 h

也就是

\text{圆锥的体积} = \frac{1}{3}\pi \cdot \text{半径}^2 \cdot \text{高}

\text{圆锥的表面积} = \pi r^2 + \pi r s = \pi r(r + s)

其中 $s$ 是斜高（母线长），也可以写成

\pi \cdot \text{半径}^2 + \pi \cdot \text{半径} \times \text{斜高}

概念 29.5.3 · 圆锥的展开

圆锥的侧面也可以展开成一个扇形。圆锥底面的周长等于扇形的弧长，圆锥的斜高等于扇形的半径。

所以扇形的圆心角是 $\dfrac{2\pi r}{2\pi s} \times 360^\circ = \dfrac{r}{s} \times 360^\circ$ 。

看例题先预测，再揭晓

例 29.4

EMCC

一只蚂蚁停在一顶派对帽圆形底面的圆周上（派对帽是一个没有底面的圆锥，蚂蚁不能从底面走），帽子的底面半径是 2，高是 $\sqrt{5}$ 。如果蚂蚁想在帽子上爬到与它当前位置在直径另一端的那个点，它至少要爬多远？

1
先求斜高。 $s = \sqrt{r^2 + h^2}$ 是多少？

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竞赛角真实竞赛题

习题 29.8.8（补充题）

EMCC

小小的岛国 Konistan 是一个圆锥，高 12 米，底面半径 9 米，圆锥的底面在海平面上。如果海平面上升 4 米，Konistan 仍然露出水面部分的表面积是多少平方米？

过关检测（第 29.5 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

29.60%

球

在本节中，你将能够 求出球的体积和表面积，并利用相切的球的球心解题。

桌上放着四颗弹珠，每颗都和另外两颗相碰。能把它们全部装下的最小的球有多大？窍门是看它们的球心。

球是到一个中心（球心）的距离都等于 $r$ 的所有点。两个相切的球，球心之间的距离恰好是 $r_1 + r_2$ 。

要找一个能装下几个小球的大球，就先找出离大球球心最远的小球球心，再加上小球的半径。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把半径加倍。体积变成原来的几倍？表面积呢？
试一试： 打开“截面”，移动截面的位置。截出的圆在哪里最大？
试一试： 把半径设为 3。为什么体积和表面积是同样多个 π？

认识概念

定理 29.6.1 · 球的体积和表面积

\text{球的体积} = \frac{4}{3}\pi r^3

\text{球的表面积} = 4\pi r^2

看例题先预测，再揭晓

例 29.5

4 个半径为 1 的球，每个都与另外两个球相切，并且 4 个球心都在同一个平面上。能装下这 4 个球的最小的球，半径是多少？

1
两个半径为 1 的球相切：它们的球心相距多远？

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例 29.6

AMC 12

八个半径为 1 的球，每个卦限里各一个，每个球都与三个坐标平面相切。以原点为球心、能装下这八个球的最小的球，半径是多少？

1
第一卦限里的单位球和三个坐标平面都相切。它的球心在哪里？

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过关检测（第 29.6 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

29.70%

立体图形中的相似三角形

在本节中，你将能够 利用相似立体图形：长度变为 k 倍，面积变为 k² 倍，体积变为 k³ 倍。

平行于顶面，把冰淇淋甜筒的尖切下来。这个尖是一个形状完全相同的小圆锥。它到底小了多少？

平行于底面切一刀，会得到一个更小的、相似的立体图形。从侧面看：两个相似三角形。

如果每个长度都乘以 $k$ ，那么每个面积都乘以 $k^2$ ，每个体积都乘以 $k^3$ 。台体（例如圆台）就是大立体减去小立体。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 移动切口。当小圆锥的高是一半时，它的体积占几分之几？
试一试： 把“层数”设为 3，“在第几层下切”设为 2。长度、面积和体积之比是 2/3、4/9 和 8/27 吗？
试一试： 打开“显示每一块”。为什么每一块按 1、7、19、… 增长？

看例题先预测，再揭晓

例 29.7

MATHCOUNTS

一个高是半径 3 倍的圆柱，内接于一个高是半径 6 倍的圆锥。圆锥的体积中有几分之几在圆柱里面？答案用最简分数表示。

1
设圆锥的半径为 $R$ （高 $6R$ ），圆柱的半径为 $r$ （高 $3r$ ）。看圆柱上方的小圆锥。它的高和半径是多少？

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例 29.8

MATHCOUNTS

如图，用平行于底面的平面把一个直圆锥切成四块。这四块的高都相同。第二大的一块与最大的一块的体积之比是多少？答案用最简分数表示。

1
最上面的一块是一个小圆锥。设它的体积为 $1$ 。最上面两块合起来是一个高为它两倍的圆锥。这个圆锥的体积是多少？

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竞赛角真实竞赛题

习题 29.8.7（补充题）

MATHCOUNTS

图中的两个圆锥底面平行，并且有公共的顶点 T。TW = 32 米，WV = 8 米，ZY = 5 米。以圆 W 和圆 Z 为底面的圆台的体积是多少？答案用含 $\pi$ 的式子表示。

习题 29.8.11（补充题）

EMCC

一张纸是边长为 12 的等边三角形 $ABC$ 。点 $A_B$ 和 $B_A$ 在线段 $AB$ 上，使得 $AA_B = 3$ ， $BB_A = 3$ 。用同样的方法在线段 $BC$ 上定义点 $B_C$ 和 $C_B$ ，在线段 $CA$ 上定义点 $C_A$ 和 $A_C$ 。点 $A_1$ 是 $A_CB_C$ 与 $A_BC_B$ 的交点。用同样的方法定义 $B_1$ 和 $C_1$ 。从三角形 $ABC$ 上剪掉三个菱形 $AA_BA_1A_C$ 、 $BB_CB_1B_A$ 、 $CC_AC_1C_B$ ，再沿线段 $A_1B_1$ 、 $B_1C_1$ 、 $C_1A_1$ 折起来，做成一个没有盖的托盘。这个托盘的体积是多少？

过关检测（第 29.7 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

29.8

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用所有立体几何工具，外加一道平面几何热身题。

再来一道 AMC 8 的题！它看起来是平面的，但同样的工具也管用：直角三角形和面积。每道题都有三个提示，卡住了就看看吧。

想在一页上看到本章的所有习题？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 29.8.4

AMC 8

一个面积为 4 的正方形内接于一个面积为 5 的正方形中，小正方形的每个顶点各在大正方形的一条边上。小正方形的一个顶点把大正方形的一条边分成两段，一段长 $a$ ，另一段长 $b$ 。 $ab$ 的值是多少？