几何 · 第 27 章

相似三角形

形状相同，大小不同：找出藏起来的相似三角形，利用对应边的比，再把相似比平方得到面积比。

这一章讲什么？

27.1 全等三角形
27.2 相似三角形
27.3 练习题

你需要先会

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27.10%

全等三角形

在本节中，你将能够 判断两个三角形什么时候一定是完全一样的复制品，并利用全等的复制品把一条线段“搬”到需要的位置。

你剪了一个纸三角形，朋友想做一个一模一样的。你只能告诉他三个条件。哪三个条件就够了？哪三个条件会骗到他？

如果一个三角形是另一个三角形的完全复制品，这两个三角形就全等。它可以被转动或翻过来，但每条边、每个角都对应相等。于是其他一切也都相等：面积、周长，全部都一样。

你不需要检查全部六个元素。三个选得好的条件就够了。但要小心 SSA：它可能对应两个不同的三角形。

注意：

全等的复制品能把一条线段搬到更好的位置。在例 27.1 中，你把一个三角形绕 B 转四分之一圈，两条短线段就接成了一条长线段。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 依次按 SSS、SAS、ASA。每次有几个三角形符合已知条件？
试一试： 按 SSA。为什么现在有两个三角形？看看 C1 和 C2 分别在哪里。
试一试： 在 SSA 中，用“角 A”旁边的 + / − 按钮改变角 A。你能找到一个只有一个三角形符合的角，或者一个都没有的角吗？
试一试： 按 AAA。角都相等，但大小不一样。这足以说明全等吗？

认识概念

定理 27.1.1

对于全等三角形：

两个三角形的各个角对应相等
所有对应边都相等
面积、周长、内切圆半径、外接圆半径等都相等

概念 27.1.2 · 全等判定

如果两个三角形的三个角和三条边都对应相等，这两个三角形就全等。换句话说，这两个三角形是一样的（摆放方向不一定相同）。一般来说，满足下面任一条件的两个三角形全等：

AAS 全等（角角边）：两个三角形有两个角对应相等，并且这两个角旁边的 1 条边也相等
SAS 全等（边角边）：两条边对应相等，并且这两条边的夹角相等
SSS 全等（边边边）：三条边都对应相等
HL 全等（斜边、直角边）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等
LL 全等（直角边、直角边）：在直角三角形中，两条直角边对应相等

警告： SSA 不是三角形的全等判定：如果两条对应边相等，并且不是这两条边夹角的那个角相等，这两个三角形不一定全等

看例题先预测，再揭晓

例 27.1

EMCC

在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $AD$ 和 $CD$ 上。已知 $\angle EBF = 45^\circ$ ， $DE = 12$ ， $DF = 35$ ，求 $AB$ 。

1
三角形 $EDF$ 在 $D$ 处是直角。 $EF$ 有多长？

先预测一下：
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竞赛角真实竞赛题

习题 27.3.4

AMC 8

从这个边长 5 英寸的正方形的四个角上各剪去一个边长 1 英寸的正方形。剩下的空间里能放下的最大正方形的面积是多少平方英寸？

习题 27.3.5

AMC 10

一张正方形纸片的边长为 $1$ ，顶点依次为 $A, B, C,$ 和 $D$ 。如图所示，把纸片折起来，使顶点 $C$ 落在边 $\overline{AD}$ 上的点 $C'$ 处，折过来的边与边 $\overline{AB}$ 交于点 $E$ 。假设 $C'D = \frac{1}{3}$ 。三角形 $\triangle AEC'$ 的周长是多少？

习题 27.3.9（补充题）

EMCC

设 $ABCD$ 是一个凸四边形，且 $AB = BC = CA$ 。假设点 $P$ 在四边形内部，满足 $AP = PD = DA$ ，且 $\angle PCD = 30^\circ$ 。已知 $CP = 2$ ， $CD = 3$ ，求 $CA$ 。

过关检测（第 27.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

27.20%

相似三角形

在本节中，你将能够 找出相似三角形，用同一个相似比把对应边配好对，再把相似比平方来求面积。

路灯杆投下一道长长的影子，你也一样。你从没爬上过灯柱，却能用一把卷尺求出它的高度。怎么做到的？你的身体和灯柱构成了两个形状相同的三角形。

如果两个三角形的角都对应相等，它们就相似。其中一个是另一个按比例缩放的复制品：每条边都乘以同一个相似比 k。

最容易找到相似三角形的地方：一条平行于三角形一边的直线，会截出一个更小的相似三角形。两条平行线被一个 X 形交叉的线段截住，就形成一个由相似三角形组成的沙漏。

注意：

长度按 k 倍缩放，面积却按 k 的平方倍缩放。每条边都变成 2 倍，面积就变成 4 倍。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 拖动人（或者用 + / − 按钮）。人的身高除以灯柱的高度，和 TF 除以 TP 一样吗？
试一试： 把人移到 TF : TP = 1/2 的位置。人的身高和灯柱相比是多少？
试一试： 观察面积比。边长之比是 1/2 时，为什么面积比是 1/4，而不是 1/2？

认识概念

概念 27.2.1 · 相似判定

如果两个三角形的三个角都对应相等，这两个三角形就相似。换句话说，这两个三角形形状相同，只是按某个相似比放大或缩小了。

一般来说，满足下面任一条件的两个三角形相似：

AA 相似（角角）：两个三角形有两个角对应相等，这其实意味着第三个角也相等
SAS 相似（边角边）：两条边对应成比例，并且这两条边的夹角相等
SSS 相似（边边边）：三条边都对应成比例
HL 相似（斜边、直角边）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例
LL 相似（直角边、直角边）：在直角三角形中，两条直角边对应成比例

警告： SSA 不能说明两个三角形相似

判断相似三角形的一个简单方法：两个三角形的底边互相平行，并且它们的两腰分别在同一条直线上（见下面的沙漏图）。

沙漏模型：在交点处相遇的两个三角形相似。

定理 27.2.2

对于相似三角形：

两个三角形的各个角对应相等
所有对应边的比都相同
面积比等于边长之比（相似比）的平方

看例题先预测，再揭晓

例 27.2

EMCC

在三角形 $ABC$ 中， $\angle BAC = 90^\circ$ ，线段 $AB$ 的长度是 2011。设 $M$ 是 $BC$ 的中点， $D$ 是 $AM$ 的中点。设 $E$ 是线段 $AB$ 上的一点，使得 $EM \parallel CD$ 。线段 $BE$ 的长度是多少？

1
设直线 $CD$ 与 $AB$ 交于 $F$ 。在三角形 $AME$ 中，线段 $DF$ 平行于 $ME$ 。 $AD : AM$ 是多少？

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例 27.3

EMCC

在三角形 $ABC$ 中， $BC = 5$ ， $CA = 13$ ， $AB = 12$ 。分别在边 $AC$ 和 $AB$ 上取点 $E$ 和 $F$ ，使得 $EF \parallel BC$ 。已知三角形 $AEF$ 与梯形 $EFBC$ 的周长相等，求 $EF$ 的长度。

1
为什么三角形 $AFE$ 与三角形 $ABC$ 相似？

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例 27.4

EMCC

在 $\triangle ABC$ 中， $AC = 8$ 且 $AC < AB$ 。点 $D$ 在边 $BC$ 上，且 $\angle BAD = \angle CAD$ 。设 $M$ 是 $BC$ 的中点。过 $M$ 且平行于 $AD$ 的直线分别与直线 $AB$ 、 $AC$ 交于 $F$ 和 $E$ 。如果 $EF = \sqrt{2}$ ， $AF = 1$ ，线段 $BC$ 的长度是多少？

1
$FE \parallel AD$ ，而 $AD$ 把角 $A$ 分成两个相等的角。这说明 $\angle AFE$ 和 $\angle AEF$ 有什么关系？

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自己做

习题 27.3.1

AMC 8

图中的八边形由 10 个单位正方形组成。 $\overline{PQ}$ 下方的部分是一个单位正方形加上一个底为 5 的三角形。如果 $\overline{PQ}$ 把八边形的面积平分，那么比值 $\dfrac{XQ}{QY}$ 是多少？

习题 27.3.3

AMC 8

点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $\overline{CD}$ 的中点， $\overline{BE}$ 与对角线 $\overline{AC}$ 交于 $F$ 。四边形 $AFED$ 的面积是 $45$ 。 $ABCD$ 的面积是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 27.3.2

AMC 8

下图中的长方形 $DEFA$ 是一个 $3 \times 4$ 的长方形，且 $DC = CB = BA = 1$ 。“蝙蝠翅膀”（阴影部分）的面积是

习题 27.3.6

AMC 10B

直角三角形 $\triangle ABC$ 中， $AB = 3$ ， $BC = 4$ ， $AC = 5$ 。正方形 $XYZW$ 内接于 $\triangle ABC$ ，其中 $X$ 和 $Y$ 在 $\overline{AC}$ 上， $W$ 在 $\overline{AB}$ 上， $Z$ 在 $\overline{BC}$ 上。这个正方形的边长是多少？

习题 27.3.8（补充题）

EMCC

在梯形 $ABCD$ 中，点 $E$ 和 $F$ 分别在边 $BC$ 和 $AD$ 上，使得 $AB \parallel CD \parallel EF$ 。已知 $AB = 3$ ， $EF = 5$ ， $CD = 6$ ，比值 $[ABEF] / [CDEF]$ 可以写成 $\frac{a}{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是互质的正整数。求 $a + b$ 。（注： $[F]$ 表示图形 $F$ 的面积。）

习题 27.3.10（补充题）

BmMT

设 $ABC$ 是一个以 $AB$ 为斜边的直角三角形， $AC = 36$ ， $BC = 15$ 。如图所示，在 $ABC$ 内作一个半圆，使半圆的直径 $XC$ 在边 $AC$ 上，并且半圆与 $AB$ 相切。这个半圆的半径是多少？

习题 27.3.11（补充题）

AMC 10/12

一个边长为 $x$ 的正方形内接于一个三边长为 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 的直角三角形，使正方形的一个顶点与三角形的直角顶点重合。一个边长为 $y$ 的正方形内接于另一个三边长为 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 的直角三角形，使正方形的一条边落在三角形的斜边上。 $\dfrac{x}{y}$ 是多少？

过关检测（第 27.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

一个三角形的面积是 $5$ 。把每条边都变成原来的 3 倍。新三角形的面积是多少？

两个相似三角形的面积分别是 $6$ 和 $54$ 。小三角形的最短边是 $3$ 。大三角形的最短边有多长？

27.3

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用全等三角形和相似三角形。

来寻找藏起来的三角形吧！在每道题中，留意平行线、直角和公共角。卡住的时候，每道题都有三条提示。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 27.3.7（补充题）

BmMT

设 $ABCDEFGHIJKL$ 是下图所示的等边十二边形，它的每个角都是 $90^\circ$ 或 $270^\circ$ 。设 $M$ 是 $CD$ 的中点，假设 $HM$ 把这个十二边形分成两个区域。较大区域的面积与较小区域的面积之比可以表示为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。