不定方程：全部习题

Peter、Emma 和 Kyler 三人互相下国际象棋。Peter 赢了 4 局，输了 2 局。Emma 赢了 3 局，输了 3 局。如果 Kyler 输了 3 局，他赢了几局？

正整数 $x$ 和 $y$ 分别是满足下列条件的最小正整数：360 与 $x$ 的积是完全平方数，360 与 $y$ 的积是完全立方数。$x$ 与 $y$ 的和是多少？

乘积 $4^5 \cdot 5^{10}$ 是几位数？

有多少个正整数 $n$，使得 $\frac{n}{3}$ 和 $3n$ 都是三位整数？

一个两位数的各位数字之积加上各位数字之和，正好等于这个数本身。这个数的个位数字是几？

在下面的乘法算式中，$A$、$B$、$C$、$D$ 是互不相同的数字。$A + B$ 等于多少？

$10^8$、$5^{12}$ 和 $2^{24}$ 这三个数，正确的大小顺序是什么？

设 $a$、$b$、$c$ 是非零实数，且 $a + b + c = 0$。$\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} + \frac{abc}{|abc|}$ 可能取哪些值？

(A) 0 (B) 1 和 $-1$ (C) 2 和 $-2$ (D) 0、2 和 $-2$ (E) 0、1 和 $-1$

Euclid 高中篮球队打完最后一场比赛后，统计发现全队得分的 $\frac{1}{4}$ 是 Alexa 得的，$\frac{2}{7}$ 是 Brittany 得的。Chelsea 得了 15 分。其余 7 名队员每人得分都不超过 2 分。其余 7 名队员一共得了多少分？

一个棒球联赛由两个分区组成，每个分区 4 支球队。每支球队与本分区的每支其他球队各比赛 N 场，与另一分区的每支球队各比赛 M 场，其中 $N > 2M$ 且 $M > 4$。每支球队的赛程共 76 场。一支球队在本分区内要打多少场比赛？

前 $n$ 个正整数的和不是前 $n$ 个正整数的积的因数。满足这个条件的最大三位正整数 $n$ 是多少？

在 $2^8 + 1$ 和 $2^{18} + 1$ 之间（包括这两个数）有多少个完全立方数？

有一个质数 $p$，使得 $16p + 1$ 是某个正整数的立方。求 $p$。

把一个三位数的各位数字倒序排列后，得到的数比原数大 297。原数最大可能是多少？

一个三位数的百位数字比个位数字大 2。把这个三位数的各位数字倒序排列，再用原来的三位数减去得到的数。结果的个位数字是几？

在计算两个正整数 $a$ 和 $b$ 的乘积时，Ron 把两位数 $a$ 的数字顺序弄反了。他算出的错误乘积是 161。$a$ 与 $b$ 的正确乘积是多少？

回文数（例如 83438）是指各位数字倒序排列后仍保持不变的数。$x$ 和 $x + 32$ 分别是三位回文数和四位回文数。$x$ 的各位数字之和是多少？

如果一个两位正整数等于它的（非零）十位数字与个位数字的平方之和，就称它是可爱的。有多少个两位正整数是可爱的？

$3^{2^{2011}} - 2^{2^{2011}}$ 最大的两位正因数是多少？

如果 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $m^2 + 14m - 32 = 3^n$，那么 $m + n$ 的值是多少？

当 $x < 0$ 时，下列哪一项与 $\sqrt{\dfrac{x}{1 - \frac{x-1}{x}}}$ 相等？

(A) $-x$ (B) $x$ (C) $1$ (D) $\sqrt{\frac{x}{2}}$ (E) $x\sqrt{-1}$

在美国，硬币的厚度如下：1 美分（penny）1.55 毫米；5 美分（nickel）1.95 毫米；10 美分（dime）1.35 毫米；25 美分（quarter）1.75 毫米。如果一摞这些硬币恰好高 14 毫米，这摞硬币有多少枚？

Boris 有一台神奇的换币机。投入一枚 25 美分硬币，它会吐出五枚 5 美分硬币；投入一枚 5 美分硬币，它会吐出五枚 1 美分硬币；投入一枚 1 美分硬币，它会吐出五枚 25 美分硬币。Boris 一开始只有一枚 1 美分硬币。反复使用这台机器后，Boris 可能拥有下列哪个金额？

(A) $3.63 (B) $5.13 (C) $6.30 (D) $7.45 (E) $9.07