18. 因数 · Mastering AMC 8

18.10%

因数个数

在本节中，你将能够 直接从质因数分解数出一个数的因数个数。

有多少个数能整除 112？你可以试 1、2、3、4……一直试下去。或者，你也可以画一张小网格，数一数上面的点！

$2^4 \times 7$ 的每个因数，都是选一个 2 的幂、再选一个 7 的幂乘出来的。第一个有 5 种选择，第二个有 2 种选择。所以一共有 $5 \times 2 = 10$ 个因数。

注意：每个指数都可以取从 0 到它本身的任何值。所以要先加 1 再相乘。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 这张网格表示 72 = 2³ × 3²。点几个点看看。每个点都是 72 的因数吗？一共有几列、几行？
试一试： 把 2 的指数加 1。多出了几个点？为什么个数正好多了一整行？
试一试： 按“+ 质因数”。网格变成了一叠网格。一共有几张网格，总共有多少个点？
试一试： 按“平方数”。哪些点还亮着？看看它们的指数。

认识概念

定理 18.1.1 · 一个数的因数个数

如果一个数的质因数分解写成

p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_k^{e_k}

那么这个数的因数个数是

(e_1 + 1)(e_2 + 1) \cdots (e_k + 1)

概念 18.1.2

简单来说，求一个数的因数个数分三步：

求出这个数的质因数分解
把每个指数都加 1
把它们乘起来

概念 18.1.3

可以这样理解这个公式：对每个质数 $p_k$ ，因数里它的指数可以是从 $0$ 到 $e_k$ 的任何值。所以有 $e_k + 1$ 种选择。因此，因数的总个数就是所有这些 $e_k + 1$ 的乘积。

例如，在 $112 = 2^4 \times 7$ 中，因数里 $2$ 的幂可以是 $2^0$ 、 $2^1$ 、 $2^2$ 、 $2^3$ 或 $2^4$ ； $7$ 的幂可以是 $7^0$ 或 $7^1$ 。

所以一共有 $5 \times 2 = 10$ 种，和前面算出的一样。以后题目加上其他条件时，这种思路会很有用。

看例题先预测，再揭晓

例 18.1

112 有多少个因数？

1
112 的质因数分解是什么？

先预测一下：

例 18.2

144 有多少个正因数是完全平方数？

1
144 的质因数分解是什么？

例 18.3

AMC 8

2020 的正整数因数中，有多少个自身的因数多于 3 个？（例如，12 有 6 个因数，分别是 1、2、3、4、6 和 12。）

1
2020 的质因数分解是什么？

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自己做

习题 18.4.8（补充题）

60 有多少个正因数？

习题 18.4.1

AMC 8

2010 的所有质因数之和是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 18.4.2

AMC 8

23,232 有多少个正因数？

习题 18.4.10（补充题）

EMCC

2020 的正因数中，有多少个不能整除 1010？

习题 18.4.3

AMC 8

6 月 1 日，一群学生排成若干行，每行 15 人。6 月 2 日，同一群学生全部站成长长的一行。6 月 3 日，同一群学生每行只站 1 人。6 月 4 日，同一群学生每行站 6 人。这样一直持续到 6 月 12 日，每天每行的人数都不相同。然而到了 6 月 13 日，他们再也找不到新的排法了。这群学生最少有多少人？

习题 18.4.4

Omega Learn Math Contest

1,001 的正倍数中，有多少个的因数少于 15 个？

习题 18.4.12（补充题）

MATHCOUNTS

正整数 $q$ 是一个质数与一个完全平方数的积。另外， $q$ 也是另一个不同的质数与一个完全立方数的积。 $q$ 的最小可能值是多少？

过关检测（第 18.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

18.20%

因数和

在本节中，你将能够 不用一一列出，就求出一个数所有因数的和。

把 112 的所有因数加起来。把 10 个因数全列出来再相加当然可以。可如果这个数有 200 个因数呢？有一个捷径，只需要两个小小的和。

先把每个质数的各次幂加起来，再把这些和相乘。把这个乘积展开时，每个因数都恰好出现一次。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 读一读网格下面各个质数的幂之和。把它们相乘。结果和总和一样吗？
试一试： 在脑子里展开 (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)。为什么每个点都恰好出现一次？
试一试： 按“奇数”，再按“偶数”。哪个幂之和变了？哪个没变？

认识概念

定理 18.2.1 · 一个数的因数和

如果一个数的质因数分解写成

p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_k^{e_k}

那么这个数的因数和是

(1 + p_1^1 + p_1^2 + \cdots + p_1^{e_1 - 1} + p_1^{e_1})(1 + p_2^1 + p_2^2 + \cdots + p_2^{e_2 - 1} + p_2^{e_2}) \cdots (1 + p_k^1 + p_k^2 + \cdots + p_k^{e_k - 1} + p_k^{e_k})

概念 18.2.2 · 一个数的因数和

本质上，对质因数分解中的每个质数 $p$ ，先把所有可能的指数 $k$ 对应的 $p^k$ 加起来。然后把所有质数的这些和乘起来，就得到这个数所有因数的和。这听起来有点复杂，看一个例子就清楚了。

看例题先预测，再揭晓

例 18.4

112 的因数和是多少？

1
112 的质因数分解是什么？

自己做

习题 18.4.9（补充题）

求 320 的因数和。

竞赛角真实竞赛题

习题 18.4.5

AMC 10

设 $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270$ 。 $N$ 的所有奇因数之和与 $N$ 的所有偶因数之和的比是多少？

习题 18.4.11（补充题）

BmMT

对 360 的所有正因数 $a$ ，求 $\frac{1}{a}$ 的和。

过关检测（第 18.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

18.30%

因数积

在本节中，你将能够 把因数两两配对，求出一个数所有因数的积。

把 20 的所有因数乘起来：1 × 2 × 4 × 5 × 10 × 20。这是个很大的数。你能不乘这 6 个数就求出它吗？

因数是成对出现的： $1 \times 20$ 、 $2 \times 10$ 、 $4 \times 5$ 。每一对的积都等于这个数本身。有 $f$ 个因数，就有 $f/2$ 对。

注意：在网格上，互为搭档的两个点隔着中心遥遥相对。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 代表 1 的点已经选中了。它的搭档在哪里？两个数相乘等于多少？
试一试： 点一点其他的点。每一对相乘都等于 20 吗？网格的中心在哪里？
试一试： 把这个数变成完全平方数，比如 2² × 3²。哪个点的搭档是它自己？

认识概念

定理 18.3.1 · 一个数的因数积

如果一个数 $n$ 有 $f$ 个因数（这个数可以用因数个数公式算出），那么它所有因数的积是

n^{\frac{f}{2}}

看例题先预测，再揭晓

例 18.5

求 20 的所有因数的积。

1
20 的质因数分解是什么？

例 18.6

Omega Learn

设 $a$ 是 54 的所有奇因数的积， $b$ 是 36 的所有偶因数的和。求 $a - b$ 。

1
$54 = 2 \times 3^3$ 。54 有多少个奇因数？

先预测一下：
你的预测

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竞赛角真实竞赛题

习题 18.4.6

AIME

设 $n = 2^{31} 3^{19}$ 。 $n^2$ 的正整数因数中，有多少个小于 $n$ 但不能整除 $n$ ？

过关检测（第 18.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

18.4

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用计数、求和与指数技巧。

最后来两道难一点的题！每道题都从质因数分解开始。如果卡住了，每道题都有 3 条提示。

想在一页上看到本章的所有题目吗？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 18.4.7

AMC 10

对某个正整数 $n$ ，数 $110n^3$ 有 $110$ 个正整数因数（包括 $1$ 和 $110n^3$ 本身）。数 $81n^4$ 有多少个正整数因数？

习题 18.4.13（补充题）

MATHCOUNTS

使 $80!$ 能被 $45^k$ 整除的最大整数 $k$ 是多少？