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Mastering
AMC 8
数论 · 第 17 章

质数与整除

认出质数，心算判断能否整除，把数分解质因数，再数出阶乘末尾有几个零。

这一章讲什么？
你需要先会
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17.10%

质数

在本节中，你将能够 认出质数，并且只用不超过一个数的平方根的质数来判断它是不是质数。

试着把 12 块饼干排成相等的几行。每行可以放 2、3、4 或 6 块。再试试 13 块饼干。只能排成长长的一行！ 像 13 这样的数叫作质数。

质数不能拆成几个更小的数的积。其他所有大于 1 的数都可以。

筛法通过划掉倍数来找出质数。看：只要你筛完了不超过最大那个数的平方根的所有质数，就再也不会有新的数被划掉了。

动手探索先玩，再学公式

1 到 120 的数，还没有筛

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按“筛去 2 的倍数”，划掉 2 的所有倍数。

按“筛去 2 的倍数”，划掉 2 的所有倍数。

认识概念

定义 17.1.1 · 质数

质数是恰好有两个因数的数：11 和它本身。

例如：2,3,5,7,11,13,17,19,232, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 都是质数。

注意：11 不是质数（它只有一个因数），而 22 是唯一的偶质数。

注 17.1.2

强烈建议你背熟前几个质数，这样在比赛中能节省不少时间：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 372,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37

注 17.1.3

要判断一个数 nn 是不是质数，只需要检验它能不能被小于或等于 n\sqrt{n} 的质数整除。

例如，91≈9.5\sqrt{91} \approx 9.5，所以你只要检验 2,3,5,72, 3, 5, 7。而 91=7×1391 = 7 \times 13，所以 9191 不是质数。

自己做

习题 17.5.1

AMC 8

下面哪个数的最小质因数最小？

(A) 55 (B) 57 (C) 58 (D) 59 (E) 61

习题 17.5.4

AMC 8

两个质数的和是 85。这两个质数的积是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 17.5.7

AMC 8

既不是质数也不是完全平方数、并且没有小于 50 的质因数的最小正整数是多少？

习题 17.5.10

AMC 8

Euclid 中学女子垒球队的三名队员有这样一段对话。

Ashley：我刚发现，我们的球衣号码都是两位质数。

Brittany：而你们俩的球衣号码之和，正好是我这个月早些时候生日的日期。

Caitlin：真有意思。你们俩的球衣号码之和，正好是我这个月晚些时候生日的日期。

Ashley：而你们俩的球衣号码之和，正好是今天的日期。

Caitlin 穿几号球衣？

过关检测（第 17.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

1 是质数吗？

2

要判断 143 是不是质数，需要检验的最大质数是多少？

3

20 到 40 之间有多少个质数？

17.20%

整除判定法则

在本节中，你将能够 不做长除法，就判断一个数能不能被 2 到 12 或 15 整除。

4,827,676 能被 8 整除吗？你可以做一次长除法。也可以只看三个数字，几秒钟就知道答案。

每条法则只看数的一部分：个位数字、末几位，或者数字和。其余部分是 10、100 或 1000 的倍数，永远不会改变答案。

对于 6、12 和 15，检验两条更简单的法则。一个数既能被 3 整除又能被 4 整除，就能被 12 整除。

动手探索先玩，再学公式

172947 不能被 4 整除：末 2 位是 47，47 = 4 × 11 + 3，不是 4 的倍数。

点击一个数字，让它加 1。

  • 末 2 位是 47，47 = 4 × 11 + 3，不是 4 的倍数。
172947 不能被 4 整除

用除法验证： 172947 ÷ 4 = 43236 余 3

172947 不能被 4 整除。末 2 位是 47，47 = 4 × 11 + 3，不是 4 的倍数。

认识概念

概念 17.2.1 · 整除判定法则

除数 法则
2 个位数字是偶数
3 各位数字之和能被 3 整除
4 末两位能被 4 整除
5 个位数字是 0 或 5
6 能被 2 和 3 整除
7 不断减去 7 的倍数，直到剩下一个小数，再看它能不能被 7 整除
8 末三位能被 8 整除
9 各位数字之和能被 9 整除
10 个位数字是 0
11 把奇数位上的数字相加（OO），偶数位上的数字相加（EE）。如果 ∣O−E∣\lvert O - E \rvert 能被 11 整除，这个数就能被 11 整除
12 能被 3 和 4 整除
15 能被 3 和 5 整除

注 17.2.2

一般地，如果一个数能被 2 个不同的质数或质数的幂（质数的乘方，比如 353^5 或 242^4）整除，那么它也能被它们的积整除。

例如，要判断一个数能不能被 30=2×3×530 = 2 \times 3 \times 5 整除，只要用整除判定法则分别检验它能不能被 22、33 和 55 整除。

自己做

习题 17.5.3

AMC 8

有多少个三位数能被 13 整除？

习题 17.5.17（补充题）

AMC 8

数 64 有这样的性质：它能被自己的个位数字整除。10 到 50 之间有多少个整数有这个性质？

习题 17.5.6

AMC 8

5 位数 2‾ 0‾ 1‾ 8‾ U‾\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{1}\,\underline{8}\,\underline{U} 能被 9 整除。这个数除以 8 的余数是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 17.5.5

7 位数 74A52B1 和 326AB4C 都是 3 的倍数。C 可能是下面哪个值？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 8

习题 17.5.12

AMC 8

用数字 1、2、3、4、5 各一次组成五位数 PQRST。三位数 PQR 能被 4 整除，三位数 QRS 能被 5 整除，三位数 RST 能被 3 整除。P 是多少？

习题 17.5.14

AMC 10

如果一个正整数的每一位数字都严格大于前一位数字，就称它为上坡数。例如，1357、89 和 5 都是上坡数，但 32、1240 和 466 不是。有多少个上坡数能被 15 整除？

习题 17.5.19（补充题）

MATHCOUNTS

Ayasha、Beshkno 和 Chenoa 都出生在 2000 年以后。他们每个人的出生年份都在 2000 年之后，并且恰好能被质数 2、3、5 中的一个整除。这三个质数中的每一个都是其中某个人出生年份的因数。他们出生年份之和最小是多少？

过关检测（第 17.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

数 64 有这样的性质：它能被自己的个位数字整除。10 到 50 之间有多少个整数有这个性质？

2

5,214 能被 9 整除吗？

3

哪个数字 dd 能让 7d437d43 被 11 整除？

17.30%

质因数分解

在本节中，你将能够 把任何数写成质数的积，并用它把难的整除问题拆成几条简单的法则。

每个数都是由质数搭起来的，就像房子由砖块砌成。60 是 2 × 2 × 3 × 5，没有别的一组质数能乘出 60。

质因数分解就是把一个数写成质数的积，比如 60=22×3×560 = 2^2 \times 3 \times 5。不管你怎么拆，最后得到的质数都一样。

要检验能不能被 264 这样的大数整除，先把它分解：264=8×3×11264 = 8 \times 3 \times 11。然后使用 8、3 和 11 的整除法则。

动手探索先玩，再学公式

60 的质因数分解：2^2 × 3 × 5

把 60 拆成：

60 = 60继续拆

60 = 60。有些叶子还能继续拆。

认识概念

注 17.3.1

遇到这类题，几乎总是先把这个数分解质因数最好，然后对分解式中的每个质数或质数的幂分别使用整除判定法则。

看例题先预测，再揭晓

例 17.1

把 117 分解质因数。

117 的质因数分解：3^2 × 13

把 117 拆成：

117 = 117继续拆

117 = 117。有些叶子还能继续拆。

  1. 1

    117 能被 2 整除吗？

    先预测一下：

例 17.2

AMC 8

设 ZZ 是一个 6 位正整数，比如 247247，它的前三位数字与后三位数字按相同顺序完全一样。下面哪个数一定也是 ZZ 的因数？

(A) 11 (B) 19 (C) 101 (D) 111 (E) 1111

1,001 的质因数分解：7 × 11 × 13

把 1,001 拆成：

1,001 = 1001继续拆

1001 = 1001。有些叶子还能继续拆。

  1. 1

    把 247247247247 拆成 247×1000+247247 \times 1000 + 247。247247÷247247247 \div 247 等于多少？

    先预测一下：
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例 17.3

MATHCOUNTS

一个四位数的十位数字是 2，个位数字是 8，它是 16 的倍数，并且把它的各位数字倒过来写，得到的数也是 16 的倍数。这个四位数是多少？

128 能被 8 整除：末 3 位是 128，128 = 8 × 16。

点击一个数字，让它加 1。

  • 末 3 位是 128，128 = 8 × 16。
128 能被 8 整除

用除法验证： 128 ÷ 8 = 16

128 能被 8 整除。末 3 位是 128，128 = 8 × 16。

  1. 1

    把这个数记作 ab28ab28。16 的倍数都是 8 的倍数。8 的整除法则对末三位 b28b28 有什么要求？

    先预测一下：
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例 17.4

AMC 8

如果一个数的各位数字在两个不同的数字之间交替出现，就称它为交错数。例如，2020 和 37373 是交错数，但 3883 和 123123 不是。有多少个五位交错数能被 15 整除？

50505 能被 15 整除：检验 3：数字和 5 + 0 + 5 + 0 + 5 = 15，是 3 的倍数。 检验 5：个位数字 5 是 0 或 5。 既能被 3 整除，也能被 5 整除。

点击一个数字，让它加 1。

  • 检验 3：数字和 5 + 0 + 5 + 0 + 5 = 15，是 3 的倍数。
  • 检验 5：个位数字 5 是 0 或 5。
  • 既能被 3 整除，也能被 5 整除。
50505 能被 15 整除

用除法验证： 50505 ÷ 15 = 3367

50505 能被 15 整除。检验 3：数字和 5 + 0 + 5 + 0 + 5 = 15，是 3 的倍数。 检验 5：个位数字 5 是 0 或 5。 既能被 3 整除，也能被 5 整除。

  1. 1

    能被 15 整除，意味着能被哪两个数整除？

    先预测一下：
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例 17.5

Omega Learn

三位数 A3B 能被 15 整除。所有这样的数之和是多少？

130 不能被 15 整除：检验 3：数字和 1 + 3 + 0 = 4，不是 3 的倍数。 检验 5：个位数字 0 是 0 或 5。 没有通过 3 的检验，所以不能被 15 整除。

点击一个数字，让它加 1。

  • 检验 3：数字和 1 + 3 + 0 = 4，不是 3 的倍数。
  • 检验 5：个位数字 0 是 0 或 5。
  • 没有通过 3 的检验，所以不能被 15 整除。
130 不能被 15 整除

用除法验证： 130 ÷ 15 = 8 余 10

130 不能被 15 整除。检验 3：数字和 1 + 3 + 0 = 4，不是 3 的倍数。 检验 5：个位数字 0 是 0 或 5。 没有通过 3 的检验，所以不能被 15 整除。

  1. 1

    一个数要能被 15 整除，它还必须能被哪些数整除？

    先预测一下：

例 17.6

Omega Learn

数 3AB76 能被 264 整除，其中 A 和 B 是数字。求 A + B。

264 的质因数分解：2^3 × 3 × 11

把 264 拆成：

264 = 264继续拆

264 = 264。有些叶子还能继续拆。

  1. 1

    一个数要能被 264 整除，它还必须能被哪些数整除？

    先预测一下：

自己做

习题 17.5.2

AMC 8

250 的两个最小质因数之和是多少？

习题 17.5.15（补充题）

420 的质因数分解式是什么？

习题 17.5.16（补充题）

1001 的质因数分解式是什么？

习题 17.5.8

AMC 8

如果 3p+34=903^p + 3^4 = 90，2r+44=762^r + 44 = 76，53+6s=14215^3 + 6^s = 1421，那么 pp、rr、ss 的积是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 17.5.11

Omega Learn Math Contest

数 AB962C 能被 792 整除，其中 A、B、C 是数字。A 的值是多少？

习题 17.5.18（补充题）

Omega Learn

数 8173ABC 能被 165 整除。所有满足条件的三位数 ABC 的平均数是多少？

习题 17.5.20（补充题）

Omega Learn

Sohil 在想一个 5 位数，它的前 3 位数字组成的数能被 63 整除，中间 3 位数字组成的数能被 8 整除，后 3 位数字组成的数能被 11 整除。他想的数最大可能是多少？

过关检测（第 17.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

420 的质因数分解式是什么？

2

1001 的质因数分解式是什么？

3

1001 的最大质因数是多少？

17.40%

勒让德公式

在本节中，你将能够 数出质数 p 在 n! 中出现了几次，以及 n! 末尾有几个零。

10! = 3,628,800 末尾有两个零。100! 末尾有几个零呢？它有 158 位，所以你一定需要一个捷径！

每个 pp 的倍数提供一个因数 pp。p2p^2 的倍数里还藏着第二个，p3p^3 的倍数里还藏着第三个。一层一层地数。

动手探索先玩，再学公式

10! 中因数 2 的个数：5 + 2 + 1 = 8

n10
246810
  • 第 1 层：不超过 10 的 2 = 2 的倍数：5
  • 第 2 层：不超过 10 的 2² = 4 的倍数：?
  • 第 3 层：不超过 10 的 2³ = 8 的倍数：?
10! 中因数 2 的个数：5 = 5（目前）

10! 中因数 2 的个数：5 = 5（目前）

认识概念

定理 17.4.1 · 勒让德定理

n!n! 中质因数 pp 的个数是

vp(n!)=⌊np⌋+⌊np2⌋+⌊np3⌋+⋯v_p(n!) = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \cdots

这里 ⌊x⌋\lfloor x \rfloor 表示“把 xx 向下取整”。

看例题先预测，再揭晓

例 17.7

求 100! 末尾有多少个 0。

100! 中因数 5 的个数：20 + 4 = 24

5101520253035404550556065707580859095100
  • 第 1 层：不超过 100 的 5 = 5 的倍数：?
  • 第 2 层：不超过 100 的 5² = 25 的倍数：?
100! 中因数 5 的个数：0（目前）

100! 中因数 5 的个数：0（目前）

  1. 1

    末尾的每个 0 都来自一个因数 10=2×510 = 2 \times 5。在 100!100! 中，2 和 5 哪个因数更少？

    先预测一下：
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竞赛角真实竞赛题

习题 17.5.9

AMC 8

对任意正整数 MM，记号 M!M! 表示从 1 到 MM 所有整数的积。使 5n5^n 是 98!+99!+100!98! + 99! + 100! 的因数的最大整数 nn 是多少？

习题 17.5.13

AMC 10

19!19! 的十进制表示是 121,6T5,100,40M,832,H00121{,}6T5{,}100{,}40M{,}832{,}H00，其中 TT、MM、HH 是没有给出的数字。T+M+HT + M + H 是多少？

过关检测（第 17.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

10!10! 中有多少个因数 2？

2

50!50! 末尾有多少个零？

3

30!30! 中有多少个因数 3？

17.5

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用质数、整除判定法则和质因数分解。

最后一道谜题，同时要用到 2、3、4、5 和 6 的整除法则。每道题都有三个提示，卡住了就看看吧。

想把本章的所有题目放在一页上？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 17.5.21（补充题）

BmMT

123456 的所有排列中，有多少个能被自己的个位数字整除？例如，123456 能被 6 整除，但 561234 不能被 4 整除。