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Mastering
AMC 8
代数 · 第 15 章

平均数、中位数、众数

平均数、中位数、众数和极差：描述一组数的四种方式，以及如何把它们当作解题线索。

这一章讲什么？
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15.10%

平均数、中位数、众数基础

在本节中，你将能够 求出一组数的平均数、中位数、众数和极差，并看清当某个数改变时，它们各自会怎样变化。

你们班进行了一次小测验。“典型”的分数是平均分吗？是排在正中间的那个分数？还是最多同学得到的那个分数？这三个都有用，而且它们常常各不相同！

平均数是这些点的平衡点：就是数轴下面的那个三角形。中位数是把点排好序后正中间的那个点。众数是最高的那一摞。极差是两端相距多远。

注意：平均数问题其实是求和问题。只要知道平均数和数的个数，你就知道了总和。

动手探索先玩，再学公式

7 个数据：平均数 4，中位数 3，众数 1，极差 8

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平均数 4中位数 3众数 1极差 8

点一下某个点来选中它，然后拖动它，或用 ◀ ▶（或方向键）移动。

7 个数据, 平均数 4, 中位数 3, 众数 1, 极差 8

认识概念

定义 15.1.1 · 平均数

平均数=所有项的平均值=所有项之和项数\text{平均数} = \text{所有项的平均值} = \frac{\text{所有项之和}}{\text{项数}}

定义 15.1.3 · 众数

众数=出现次数最多的项\text{众数} = \text{出现次数最多的项}

定义 15.1.5 · 中位数

先把这些数按从小到大（或从大到小）的顺序排好：

如果项数是奇数，

中位数=正中间的数\text{中位数} = \text{正中间的数}

如果项数是偶数，

中位数=中间两个数的平均数\text{中位数} = \text{中间两个数的平均数}

定义 15.1.6 · 极差

极差=最大数−最小数\text{极差} = \text{最大数} - \text{最小数}

看例题先预测，再揭晓

例 15.1

求 1, 9, 7, 1, 3, 5, 2 的平均数、中位数、众数与极差之和。

7 个数据：平均数 4，中位数 3，众数 1，极差 8

平均数 ?中位数 ?众数 ?极差 ?

7 个数据

  1. 1

    为了更方便地分析这些数，第一步应该做什么？

    先预测一下：

例 15.2

AIME

设 SS 是一组正整数（不一定互不相同），其中出现了数 68。SS 中各数的平均数（算术平均数）是 56。但如果去掉 68，剩下各数的平均数就降到 55。SS 中可能出现的最大的数是多少？

  1. 1

    设 SS 中有 nn 个数。利用平均数，它们的总和是多少？

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例 15.3

AMC 10

下面这 4040 个数的中位数是多少？

1,2,3,…,2020,12,22,32,…,202021, 2, 3, \ldots, 2020, 1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 2020^2
  1. 1

    一共有 4040 个数，是偶数个。中位数是排好序后哪两个位置上的数的平均数？请给出第一个位置。

    先预测一下：
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自己做

习题 15.3.5

AMC 8

2, 3, 0, 3, 1, 4, 0, 3 这组数的平均数、中位数与众数之和是多少？

习题 15.3.14（补充题）

AMC 8 Modified

下面是 Tyler 去年夏天 9 次钓鱼各钓到的鱼的条数：

2,0,1,3,0,3,3,1,2.2, 0, 1, 3, 0, 3, 3, 1, 2.

钓到鱼的条数的平均数、中位数和众数的大小顺序是怎样的？

习题 15.3.15（补充题）

EMCC

2, 0, 1, 5 和 xx 的平均数是一个整数。求 xx 最小可能的正整数值。

习题 15.3.10

AMC 8

一组非零数的调和平均数，是这些数的倒数的平均数的倒数。1、2 和 4 的调和平均数是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 15.3.1

AMC 8

4 名学生参加一次考试。其中 3 人的分数是 70、80 和 90。如果 4 人分数的平均数是 70，那么剩下那个人的分数是多少？

支点在 70：左边拉力 0，右边拉力 30，向右倾斜

左边 0 对 右边 30跷跷板向右倾斜。

支点在 70：左边拉力 0，右边拉力 30，向右倾斜

支点放在平均数 70 处。到目前为止，跷跷板向哪边倾斜？

习题 15.3.2

AMC 8

下面的条形图表示 19 个人名字的长度（字母个数）。这些名字长度的中位数是多少？

习题 15.3.3

AMC 8

Mr. Garcia 询问他健康课上的学生：上周有几天锻炼了至少 30 分钟。结果汇总在下面的条形图中，条形的高度表示学生人数。

Mr. Garcia 班上学生报告的上周锻炼天数的平均数是多少（精确到百分位）？

习题 15.3.4

AMC 8

Hammie 上六年级，体重 106 磅。她的四胞胎妹妹们还是小婴儿，体重分别是 5、5、6 和 8 磅。这五个孩子体重的平均数（算术平均数）和中位数，哪个更大？大多少磅？

习题 15.3.7

AMC 8

下图显示了上周每个工作日参加足球训练的学生人数。教练算完平均数和中位数后，发现周三实际上有 21 人参加。下列哪个说法描述了修正之后平均数和中位数的变化？

习题 15.3.16（补充题）

AMC 8

Mr. Ramos 给他班上的 20 名学生进行了一次测验。下面的点图显示了测验分数的分布。

后来 Mr. Ramos 发现其中一道题判分有误。他重新批改了试卷，给部分学生加了 5 分，这使测验分数的中位数提高到了 85。最少有多少名学生得到了加分？

（注意：把 20 个测验分数从小到大排列，中位数等于正中间 2 个分数的平均数。）

20 个数据：平均数 80.25，中位数 80，众数 80，极差 35

测验分数
平均数 ?中位数 ?众数 ?极差 ?

20 个数据

20 个测验分数的点图

过关检测（第 15.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

4, 8, 1, 9, 6, 3 的中位数是多少？

2

跷跷板上的砝码分别放在 1, 1, 2, 3, 5, 7 和 9 处。支点必须放在哪里，跷跷板才能平衡？

支点在 6：左边拉力 18，右边拉力 4，向左倾斜

左边 18 对 右边 4跷跷板向左倾斜。

支点在 6：左边拉力 18，右边拉力 4，向左倾斜

3

2, 0, 1, 5 和 xx 的平均数是一个整数。求 xx 最小可能的正整数值。

15.20%

平均数、中位数、众数的条件问题

在本节中，你将能够 构造一组同时满足多个条件的数，并把其中一个数推到尽可能大。

6 个互不相同的数。它们的平均数是 7，中位数是 6，极差是 9。你能找出它们吗？每个条件都会缩小可选的范围。

把每个条件都变成可以拿来计算的东西。平均数给出总和。中位数确定中间的数。极差把最大数和最小数联系起来。

要让某个数尽可能大，就让其他所有数在规则允许的范围内尽可能小。

动手探索先玩，再学公式

6 个数据：平均数 6，中位数 6，众数 无，极差 10

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平均数 6中位数 6众数 ?极差 10

点一下某个点来选中它，然后拖动它，或用 ◀ ▶（或方向键）移动。

6 个数据, 平均数 6, 中位数 6, 极差 10

看例题先预测，再揭晓

例 15.4

Omega Learn

一组 6 个互不相同的正整数，平均数是 7，中位数是 6，极差是 9。求第 2 小的数与第 5 小的数之和。

6 个数据：平均数 6，中位数 6，众数 无，极差 10

12481011
平均数 6中位数 6众数 ?极差 10

点一下某个点来选中它，然后拖动它，或用 ◀ ▶（或方向键）移动。

6 个数据, 平均数 6, 中位数 6, 极差 10

  1. 1

    中间的 2 个数（也就是第 3 小和第 4 小的数）可能是哪些？先想一想：它们加起来必须是多少？

    先预测一下：

例 15.5

AMC 10

一组 8 个整数的平均数、中位数、唯一众数和极差都等于 8。这组数中可能出现的最大整数是多少？

8 个数据：平均数 8，中位数 8，众数 8，极差 0

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平均数 8中位数 8众数 8极差 0

点一下某个点来选中它，然后拖动它，或用 ◀ ▶（或方向键）移动。

8 个数据, 平均数 8, 中位数 8, 众数 8, 极差 0

  1. 1

    平均数是 8。这 8 个整数加起来是多少？

    先预测一下：
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自己做

习题 15.3.6

AMC 8

正整数 3, 4, 5, 6, 6, 7 和 xx 的平均数、中位数和唯一众数都相等。xx 的值是多少？

习题 15.3.17（补充题）

AMC 10

7 个数据 60, 100, xx, 40, 50, 200, 90 的平均数、中位数和众数都等于 xx。xx 的值是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 15.3.8

AMC 8

一组 5 个互不相同的正整数的平均数是 15，中位数是 18。这 5 个整数中最大的那个，最大可能值是多少？

习题 15.3.9

AMC 8

某天，Beverage Barn 向 100 位顾客卖出了 252 罐汽水，每位顾客都至少买了一罐。那天每位顾客购买汽水罐数的中位数，最大可能是多少？

习题 15.3.11

AMC 8

从集合 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\} 中去掉一个两元素子集，使剩下各数的平均数（算术平均数）为 6。这样的两元素子集有多少个？

习题 15.3.12

AMC 12

把数据

10,2,5,2,4,2,x10, 2, 5, 2, 4, 2, x

的平均数、中位数和众数按从小到大排列，它们构成一个非常数的等差数列。xx 所有可能的实数值之和是多少？

过关检测（第 15.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

五个互不相同的正整数的平均数是 10，中位数是 12。最大的那个数最大可能是多少？

2

三个数的平均数是 9，中位数是 10。最小的数是 4。最大的数是多少？

3

7 个数据 60, 100, xx, 40, 50, 200, 90 的平均数、中位数和众数都等于 xx。xx 的值是多少？

15.3

练习题

在本节中，你将能够 在更难的竞赛题中综合运用本章的所有方法。

这些题需要好几步。先给未知数起名字，把每个平均数都变成总和，每句话列一个方程。如果卡住了，每道题都有 3 条提示。

想在一页里看到本章的所有题目吗？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 15.3.13

AMC 10

设 SS 是一个由正整数组成的有限集合。如果把 SS 中最大的整数从 SS 中去掉，剩下整数的平均值（算术平均数）是 32。如果再去掉 SS 中最小的整数，剩下整数的平均值是 35。如果接着把最大的整数放回集合，整数的平均值升到 40。原集合 SS 中最大的整数比 SS 中最小的整数大 72。集合 SS 中所有整数的平均值是多少？

习题 15.3.18（补充题）

AMC 10

在一列整数后面添上 15，平均数增加 2。再在这列加长后的数后面添上 1，加长后的数列的平均数减少 1。原来那列数中有多少个整数？

习题 15.3.19（补充题）

AMC 10

Melanie 计算了 365 个数据的平均数 μ\mu、中位数 MM 和众数，这些数据是 2019 年各月中的日期。因此她的数据包括 12 个 1、12 个 2、……、12 个 28、11 个 29、11 个 30 和 7 个 31。设 dd 是这些众数的中位数。下列哪个说法是正确的？

习题 15.3.20（补充题）

MATHCOUNTS

一列九个数的平均数是 17，众数是 aa、bb 和 cc。如果 a+4a + 4、1+b1 + b 和 c−8c - 8 是这列数中互不相同的数，而且它们都不是这列数的众数，那么 3(a+b+c)3(a + b + c) 的值是多少？

习题 15.3.21（补充题）

Omega Learn

6 个正整数的中位数是 5.5，有两个不同的众数，极差是 5，平均数是 356\frac{35}{6}。求最大整数所有可能值之和。