14. 数列与级数 · Mastering AMC 8

14.10%

等差数列

在本节中，你将能够 求出等差数列的任意一项，数出它有多少项，并且快速把所有项加起来。

数一数 1, 4, 7, 10, 13, …… 40 后面是什么？你每次都加 3。那第 100 个数是多少呢？你可不想一路数到那里！

每一项都等于前一项加上同一个数 $d$ 。所以从首项走到第 $n$ 项，你要跳 $n - 1$ 次，每次跳 $d$ 。

看：等差数列的各项间隔都一样。所以它们的平均数正好在正中间，等于首项和末项的平均数。于是，和就是平均数乘项数。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把公差设为 3，按“项数 n”的 + 号，直到末项是 40。你需要多少项？
试一试： 把公差改成 −3。点现在往左走了。它还是等差数列吗？
试一试： 选第 k = 8 项。先别看，用 a₁ 和 d 预测 a₈。你加了几次 d？
试一试： 打开“显示平均数与和”。项数是奇数时，平均数那条线穿过柱子的什么位置？

认识概念

定义 14.1.1 · 等差数列

等差数列是指相邻两项之差都相同的一列数。

1, 4, 7, 10, 13, \ldots, 40

就是一个等差数列，因为相邻两项之差总是 $3$ 。

注 14.1.2

等差数列的公差也可以是负数。例如，在等差数列

40, 37, 34, \ldots, 4, 1

中，公差是 $-3$ 。

定义 14.1.3 · 等差数列的记号

一般地，等差数列的各项可以写成：

a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots, a_n

其中

$d$ 是相邻两项之差，即公差
$n$ 是项数

定理 14.1.4 · 等差数列的通项公式

a_n = a_1 + (n-1)d

意思是，等差数列的第 $n$ 项等于

\text{首项} + (\text{项数} - 1)(\text{公差})

我们还有

a_n = a_m + (n-m)d

意思是

\text{第 } n\text{ 项} = \text{第 } m\text{ 项} + (\text{项数} - m)(\text{公差})

定理 14.1.5 · 等差数列的项数

n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1

也就是说，

\text{项数} = \frac{\text{末项} - \text{首项}}{\text{公差}} + 1

定理 14.1.6 · 等差数列各项的平均数

\text{各项的平均数} = \frac{a_1 + a_n}{2}

\text{各项的平均数} = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}

也就是说

\text{各项的平均数} = \frac{\text{首项} + \text{末项}}{2}

\text{各项的平均数} = \frac{\text{所有项的和}}{\text{项数}}

如果项数是偶数，平均数 $x$ = 中间 2 项的平均数。

如果项数是奇数，平均数 $x$ = 中间那一项。

定理 14.1.7 · 等差数列所有项的和

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n

也就是说

\text{所有项的和} = \text{各项的平均数} \times \text{项数}

我们也可以代入 $a_n = a_1 + (n-1)d$ ，得到

S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \times n

看例题先预测，再揭晓

例 14.1

AIME

已知 $a_1, a_2, a_3 \ldots$ 是公差为 $1$ 的等差数列，并且 $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{98} = 137$ 。求 $a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + \ldots + a_{98}$ 的值。

1
把这 98 项分成下标为奇数的项（ $a_1, a_3, \ldots, a_{97}$ ）和下标为偶数的项（ $a_2, a_4, \ldots, a_{98}$ ）。每组有多少项？

先预测一下：
你的预测

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例 14.2

一个等差数列前 $5$ 项的和是 $65$ ，同一个数列前 $10$ 项的和是 $255$ 。求这个数列前 $15$ 项的和。

1
5 项的和等于平均数乘 5。5 项的平均数就是中间那一项 $a_3$ 。 $a_3$ 是多少？

先预测一下：
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自己做

习题 14.5.7（补充题）

AHSME

等差数列 $1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, \ldots$ 的第 $100$ 个数是多少？

习题 14.5.9（补充题）

AMC 8

$25$ 个连续偶数的和是 $10{,}000$ 。这 $25$ 个连续整数中最大的是多少？

习题 14.5.8（补充题）

MATHCOUNTS

非负整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 、 $e$ 构成一个等差数列。如果它们的和是 $440$ ， $e$ 的最大可能值是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 14.5.1

AMC 8

等差数列是这样一列数：从第二项起，每一项都等于前一项加上同一个常数。例如， $2, 5, 8, 11, 14$ 是一个有五项的等差数列，首项是 $2$ ，每次加的常数是 $3$ 。在这个 $5 \times 5$ 的方阵中，每一行和每一列都是有五项的等差数列。如图所示，正中间的方格标为 $X$ 。 $X$ 的值是多少？

习题 14.5.3

AMC 10

设 $\{a_n\}$ 是一个等差数列，满足

a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 100 \text{ 且 } a_{101} + a_{102} + \cdots + a_{200} = 200.

$a_2 - a_1$ 的值是多少？

习题 14.5.5

AMC 10

在图中的五角星里，字母 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 分别换成数 $3$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $9$ ，但不一定按这个顺序。线段 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DE$ 、 $EA$ 两端的数之和构成一个等差数列，但不一定按这个顺序。这个数列的中间项是多少？

过关检测（第 14.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

14.20%

特殊级数

在本节中，你将能够 用各自的一个公式，求出 1 + 2 + … + n、奇数的和、偶数的和、平方和与立方和。

从前有一位老师让全班把 1 到 100 的所有数加起来。小小的 Carl Gauss 几秒钟就算出了答案。他的妙招是：把第一个数和最后一个数配成一对！

看： $1 + 100$ 、 $2 + 99$ 、 $3 + 98$ …… 每一对的和都是 $101$ 。把这个和写两遍，一遍正着写，一遍倒着写，就得到 $n$ 列，每列都是 $n + 1$ 。它的一半就是要求的和。

有些和在竞赛里一次又一次地出现。记住这五个公式，你就能用一行算出一长串数的和。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“折叠：加上倒序副本”。一份倒过来的副本叠到了上面。每一列有多高？一共有几列？
试一试： 图里有两份这个和。那么 1 + 2 + … + 10 是多少？
试一试： 把首项设为 1，公差设为 2。分别求 n = 3、4、5 时奇数的和。你得到的是什么样的数？
试一试： 现在从 2 开始，公差为 2。偶数的和与 1 + 2 + … + n 比起来怎么样？

认识概念

定理 14.2.1 · 自然数求和公式

前 n 个正整数的和：

1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{(n)(n+1)}{2}

定理 14.2.2 · 奇数求和公式

1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2

简单地说，

\text{前 } n \text{ 个奇数的和} = n^2

定理 14.2.3 · 偶数求和公式

2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n(n+1)

直观地想：从每一项里提出公因数 $2$ ：

2(1 + 2 + 3 + \cdots + n) = 2\,\frac{(n)(n+1)}{2} = n(n+1)

简单地说，

\text{前 } n \text{ 个偶数的和} = 2 \times \text{前 } n \text{ 个正整数的和}

定理 14.2.4 · 平方和公式

前 n 个正整数的平方和：

1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{(n)(n+1)(2n+1)}{6}

定理 14.2.5 · 立方和公式

前 n 个正整数的立方和：

1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{(n)(n+1)}{2}\right)^2

自己做

习题 14.5.10（补充题）

AMC 10/12

一位杂货店老板用罐头摆了一个展示架：最上面一行有一个罐头，下面每一行都比上面一行多两个罐头。如果展示架上一共有 $100$ 个罐头，它有多少行？

竞赛角真实竞赛题

习题 14.5.6

AIME

一个等差数列的各项之和是 $715$ 。把这个数列的第一项加 $1$ ，第二项加 $3$ ，第三项加 $5$ ，一般地，第 $k$ 项加上第 $k$ 个正奇数。新数列的各项之和是 $836$ 。求原数列的首项、末项和中间项这三项之和。

过关检测（第 14.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

14.30%

等比数列

在本节中，你将能够 求出等比数列的项与和，甚至是永远加不完的和。

把一张纸对折，再对折。每折一次，层数就翻倍：1、2、4、8、16。折 10 次之后，就有 1024 层！

在等比数列中，你每次乘上同一个数 $r$ ，而不是加。要得到第 $n$ 项，你恰好要乘 $n - 1$ 次 $r$ 。

当 $r$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间时，各项缩小得非常快，总和就不再无限增长，而是慢慢接近一个固定的数：先吃半个比萨，再吃剩下的一半，一直这样吃下去。你吃的永远不会超过一整个比萨。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 公比为 2 时，每根柱子都翻倍。要多少项才能到 1024？
试一试： 把公比改成 −2。各项的正负号发生了什么变化？
试一试： 把公比设为 1/2。看着累计和。每多一项，离极限还差多少？
试一试： 打开“显示极限”，再试一次公比 2。为什么现在没有极限线了？

认识概念

定义 14.3.1 · 等比数列

等比数列是指相邻两项之比都相同的一列数。

1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots, 1024

就是一个等比数列，因为相邻两项之比总是 $2$ 。

定义 14.3.2 · 等比数列的记号

一般地，等比数列的各项可以写成：

g_1, g_2, g_3, g_4, \ldots, g_n

其中

$r$ 是相邻两项之比，即公比
$n$ 是项数

注 14.3.3

等比数列的公比也可以是负数。例如，数列 $1, -2, 4, -8, \ldots, 512, -1024$ 的公比是 $-2$ 。

定理 14.3.4 · 等比数列的通项公式

g_n = g_1 \cdot r^{n-1}

意思是

\text{等比数列的第 } n\text{ 项} = \text{首项} \times (\text{公比})^{\text{项数} - 1}

求第 $n$ 项的一般形式：

g_n = g_m \cdot r^{(n-m)}

意思是

\text{第 } n\text{ 项} = \text{第 } m\text{ 项} \times \text{公比}^{(n-m)}

定理 14.3.5 · 有限等比数列的项数

n = \log_r\left(\frac{g_n}{g_1}\right) + 1

也就是说，

项数 = 从 $g_1$ 开始、要乘多少次 $r$ 才能得到 $g_n$ ，再加 $1$ 。

定理 14.3.6 · 有限等比数列所有项的和

S_n = g_1\,\frac{(1 - r^n)}{1 - r}

也就是说

\text{所有项的和} = \text{首项} \times \frac{1 - \text{公比}^n}{1 - \text{公比}}

定理 14.3.7 · 无穷等比数列所有项的和

当 $-1 < r < 1$ 时，

S_\infty = \frac{g_1}{1 - r}

看例题先预测，再揭晓

例 14.3

AIME

如果一个 3 位数的 3 个数字互不相同，并且从左往右读构成一个等比数列，就称它为“等比数”。求最大的等比数与最小的等比数之差。

1
把三个数字写成 $a$ 、 $ar$ 、 $ar^2$ 。要得到最大的数，首位最好先试哪个数字？

先预测一下：
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例 14.4

AIME

设 $n$ 是正整数， $d$ 是 $10$ 进制下的一个数字。已知

\frac{n}{810} = 0.d25d25d25\ldots

求 $n$ 。

1
循环节 $\overline{d25}$ 是三位数 $100d + 25$ 。这个小数等于 $\frac{100d+25}{1000} + \frac{100d+25}{1000^2} + \cdots$ 这个等比级数的公比是多少？

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竞赛角真实竞赛题

习题 14.5.2

Omega Learn Math Contest

有 $4$ 个正整数 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 。前 $3$ 个数按这个顺序构成等差数列，后 $3$ 个数按这个顺序构成等比数列。 $C$ 的值是 $A$ 的 $3$ 倍。 $D$ 的最小可能值是多少？

习题 14.5.4

AMC 10/12

三个实数构成一个首项为 $9$ 的等差数列。如果第二项加上 $2$ ，第三项加上 $20$ ，得到的三个数构成一个等比数列。这个等比数列的第三项最小可能是多少？

过关检测（第 14.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

14.40%

差比数列

在本节中，你将能够 用“错位相减”的妙招，求出分子按加法增长、分母按乘法增长的级数的和。

1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + …… 等于多少？分子每次加 1，分母每次翻倍。它既不是等差数列，也不是等比数列，而是两者都有一点！

把整个和记作 $S$ 。把 $S$ 除以 $2$ ，得到一份副本，它的各项正好向右错开一列。再减去这份副本：每一列的分子正好相差 $1$ ，剩下的就是一个普通的等比级数。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“把 S 除以 2”。新的一行还是同一个级数，只是向右错开了一格。比较每一列。
试一试： 按“两行相减”。每一列剩下什么？那是哪一种级数？
试一试： 把 r 设为 3，再做一遍。你能在按“两行相减”之前预测出 S 吗？

认识概念

概念 14.4.1

解这类题的一种策略，是把数列拆成几个等比数列。另一种策略是把整个式子记作 $S$ ，然后把 $S$ 除以某个数，使得用 $S$ 减去它之后，大部分项都能消掉。这种方法更快，但更难想到。

看例题先预测，再揭晓

例 14.5

计算 $\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \frac{5}{32} + \ldots$

1
把这个和记作 $S$ 。分子每次加 $1$ ，分母每次翻倍。把 $S$ 的每一项都减半。 $\frac{S}{2}$ 的第一项是什么？

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过关检测（第 14.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

14.5

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用等差和等比的思想。

本章的每一道练习题都已经放在它所用到的那一节里了。如果卡住了，每道题都有三个提示。

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