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Mastering
AMC 8
组合计数 · 第 8 章

隔板法

把相同的物品分给不同的人：先把它们排成一排当作球，再往里插入隔板。

这一章讲什么？
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8.10%

隔板法基础

在本节中，你将能够 在球之间插入隔板，把相同的物品分给不同的人。

老师有 8 台相同的电脑，要分给 3 个学生。可能一个学生分到 5 台，另一个 2 台，还有一个 1 台。也可能一个学生把 8 台全拿走！一共有多少种不同的分法？

这些电脑看起来一模一样。所以只有每个学生分到多少台才重要，分到的是哪一台并不重要。

把电脑排成一排当作球，再插入隔板把它们分开。第一块隔板左边的全部归学生 1，依此类推。 每一种放隔板的方式，就是一种分法。

动手探索先玩，再学公式

把 8 台电脑分给 3 名学生：C(10, 2) = 45 种排法

电脑数8
学生3
  • 学生 1
    2
  • 学生 2
    5
  • 学生 3
    1
45 种排法

CC|CCCCC|C 表示 学生 1：2，学生 2：5，学生 3：1。共有 45 种排法。

认识概念

定理 8.1.1 · 隔板法

把 nn 个不可区分的物品放进 kk 个可区分的盒子里，方法数是

(n+k−1n).\binom{n+k-1}{n}.

注 8.1.3

一定要记住：隔板法只适用于被分配的物品完全相同的情况！

看例题先预测，再揭晓

例 8.1

把 8 台相同的电脑分给 3 个学生，有多少种分法？

把 8 台电脑分给 3 名学生：C(10, 2) = 45 种排法

电脑数8
学生3
  • 学生 1
    2
  • 学生 2
    5
  • 学生 3
    1
45 种排法

CC|CCCCC|C 表示 学生 1：2，学生 2：5，学生 3：1。共有 45 种排法。

  1. 1

    如果这些电脑不相同，会有多少种分法？

    先预测一下：

例 8.2

把 8 支相同的铅笔分给 3 个人，有多少种分法？

把 8 支铅笔分给 3 个人：C(10, 2) = 45 种排法

铅笔数8
人3
  • 人 1
    3
  • 人 2
    3
  • 人 3
    2
45 种排法

✎✎✎|✎✎✎|✎✎ 表示 人 1：3，人 2：3，人 3：2。共有 45 种排法。

  1. 1

    这些铅笔是相同的还是不同的？

    先预测一下：
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自己做

习题 8.3.1

把 5 颗相同的糖果分给 3 个孩子，有多少种分法？

习题 8.3.6（补充题）

有多少个 5 位正整数，满足每一位数字都大于或等于它前一位数字？

竞赛角真实竞赛题

习题 8.3.3

AMC 10

Pat 要从一个托盘里挑选 6 块饼干，托盘里只有巧克力豆饼干、燕麦饼干和花生酱饼干。这三种饼干每种都至少有 6 块。可以挑出多少种不同的 6 块饼干组合？

过关检测（第 8.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

把 4 个相同的球放进 3 个不同的盒子，有多少种放法？盒子可以是空的。

2

方程 x+y+z+w=5x + y + z + w = 5 有多少组非负整数解？

3

有多少个 5 位正整数，满足每一位数字都大于或等于它前一位数字？

8.20%

带限制条件的隔板法

在本节中，你将能够 处理“每人至少 1 个”“每人至多 5 个”“和小于 13”这样的条件：把问题变成普通的隔板法。

7 个宇航员被困在太空，只剩 10 份相同的餐食。每个宇航员至少需要 1 份。普通的隔板法会允许有人分到 0 份。怎样避免这种情况呢？

窍门是：**先把最少的量发下去。**先给每个宇航员 1 份餐食。这样剩下的餐食随便怎么分都可以，普通的隔板法就能数出来。

其他条件也可以用同样的思路转化。有上限？先全部数出来，再减去超过上限的排法。有“小于”号？添加一个辅助变量， 把剩下的部分“吸收”掉。

动手探索先玩，再学公式

先发出 7 份餐食，剩下 3 个分给 7 名宇航员：C(9, 6) = 84 种方法

餐食数10
宇航员7
还没分出去的
  • 宇航员 1 （至少 1）
    0
  • 宇航员 2 （至少 1）
    0
  • 宇航员 3 （至少 1）
    0
  • 宇航员 4 （至少 1）
    0
  • 宇航员 5 （至少 1）
    0
  • 宇航员 6 （至少 1）
    0
  • 宇航员 7 （至少 1）
    0
先发出 7 个剩下的 3 份餐食可以随便分

10 份餐食，7 名宇航员。按“先各给 1 个”。

认识概念

概念 8.2.1 · 先每份给一个

隔板法非常有用，而且常常可以根据情况灵活变通。例如，如果每个盒子里至少要有 1 个物品，就先给每个盒子放 1 个。然后对 n−kn-k 个物品和 kk 个可区分的盒子使用公式：

((n−k)+k−1k−1)=(n−1k−1).\binom{(n-k)+k-1}{k-1} = \binom{n-1}{k-1}.

看例题先预测，再揭晓

例 8.3

7 个宇航员被困在太空，只剩下 10 份相同的餐食。每个宇航员都必须至少分到 1 份餐食，否则就会挨饿。在这个限制条件下，分配餐食有多少种方法？

先发出 7 份餐食，剩下 3 个分给 7 名宇航员：C(9, 6) = 84 种方法

餐食数10
宇航员7
还没分出去的
  • 宇航员 1 （至少 1）
    0
  • 宇航员 2 （至少 1）
    0
  • 宇航员 3 （至少 1）
    0
  • 宇航员 4 （至少 1）
    0
  • 宇航员 5 （至少 1）
    0
  • 宇航员 6 （至少 1）
    0
  • 宇航员 7 （至少 1）
    0
先发出 7 个剩下的 3 份餐食可以随便分

10 份餐食，7 名宇航员。按“先各给 1 个”。

  1. 1

    怎样处理“每个宇航员至少分到 1 份餐食”这个条件？处理完之后，还剩几份餐食？

    先预测一下：

例 8.4

掷 5 个普通的 6 面骰子，朝上一面的点数之和为 24 的概率是多少？

把 6 个“减 1”分给 5 个骰子：C(10, 4) = 210 种排法；每个至多 5：210 − 5 = 205

  • 骰子 1
    2
    点数 4
  • 骰子 2
    1
    点数 5
  • 骰子 3
    1
    点数 5
  • 骰子 4
    1
    点数 5
  • 骰子 5
    1
    点数 5
210 种排法其中 5 种超过上限 5，所以符合要求的有 205 种

−1−1|−1|−1|−1|−1 表示 骰子 1：2，骰子 2：1，骰子 3：1，骰子 4：1，骰子 5：1。共有 210 种排法，其中 205 种不超过上限。

  1. 1

    怎样在这道题中使用隔板法？

    先预测一下：

例 8.5

选出正整数 aa、bb、cc、dd，使得 a+b+c+d<13a + b + c + d < 13，有多少种选法？

先发出 4 个“1”，剩下 8 个分给 5 个变量：C(12, 4) = 495 种方法

“1”数12
变量5
还没分出去的
  • a （至少 1）
    0
  • b （至少 1）
    0
  • c （至少 1）
    0
  • d （至少 1）
    0
  • 额外的 e （至少 0）
    0
先发出 4 个剩下的 8 个“1”可以随便分

12 个“1”，5 个变量。按“先给够最少数”。

  1. 1

    这个和是一个小于 13 的整数。它最大可以是多少？

    先预测一下：
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例 8.6

7 个人坐成一排，其中 3 个人互相是对头，谁都不肯和另一个对头挨着坐。有多少种坐法？

先发出 2 个其他人，剩下 2 个分给 4 个空隙：C(5, 3) = 10 种方法

还没分出去的
  • w：左端 （至少 0）
    0
  • x：空隙 1 （至少 1）
    0
  • y：空隙 2 （至少 1）
    0
  • z：右端 （至少 0）
    0
先发出 2 个剩下的 2 个其他人可以随便分

4 个其他人，4 个空隙。按“先给够最少数”。

  1. 1

    人的顺序我们稍后再考虑。如果不管限制条件，给这 3 个对头选 3 个座位有多少种方法？

    先预测一下：

例 8.7

Omega Learn

你有 11 个苹果和 5 根香蕉，要把它们放进 3 个篮子里。如果每个篮子里的苹果都必须比香蕉多，并且每个篮子里至少有 1 个水果，有多少种放法？

先发出 8 个苹果，剩下 3 个分给 3 个篮子：C(5, 2) = 10 种方法

还没分出去的
  • 篮子 1（2 根香蕉） （至少 3）
    0
  • 篮子 2（2 根香蕉） （至少 3）
    0
  • 篮子 3（1 根香蕉） （至少 2）
    0
先发出 8 个剩下的 3 个苹果可以随便分

11 个苹果，3 个篮子。按“先给够最少数”。

  1. 1

    每个篮子里的苹果都比香蕉多。会不会有篮子里一个水果都没有？

    先预测一下：
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自己做

习题 8.3.7（补充题）

Omega Learn

求 a+b+c+d<19a + b + c + d < 19 的解的个数，其中 a,b,c,da, b, c, d 都是正整数，aa 和 cc 必须是奇数，bb 和 dd 必须是偶数。

竞赛角真实竞赛题

习题 8.3.4

AMC 8

Alice 有 24 个苹果。她要和 Becky、Chris 分这些苹果，使得三个人每人至少有两个苹果。有多少种分法？

习题 8.3.2

AMC 10

掷 7 个均匀的标准 6 面骰子，朝上一面的点数之和为 10 的概率可以写成

n67,\frac{n}{6^7},

其中 nn 是正整数。nn 是多少？

过关检测（第 8.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

把 6 颗相同的糖果分给 3 个孩子，每个孩子至少分到 1 颗，有多少种分法？

2

把 12 张相同的贴纸分给 4 个小朋友，每个小朋友至少分到 2 张，有多少种分法？

3

a+b+c≤6a + b + c \le 6 有多少组正整数解？

8.3

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用隔板法的各种技巧。

现在把所有方法混在一起用！这些题除了隔板法，还要加一点变化，比如奇数和偶数。每道题都有 3 条提示，卡住了就看看吧。

想在一页上看到本章所有的题吗？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 8.3.5

Omega Learn Math Contest

三只松鼠要分 19 颗相同的橡果。

  • 第一只松鼠要求分到的橡果数是正奇数。
  • 第二只松鼠分到任何非负偶数颗都可以。
  • 第三只松鼠坚持自己分到的橡果数必须是大于或等于 4 的偶数。

它们有多少种不同的分法？