容斥原理（PIE）：全部习题

小于或等于 100 的正数中，有多少个是 2 的倍数或 3 的倍数？

小于或等于 100 的正数中，有多少个既不是 2 的倍数，也不是 3 的倍数？

200 名学生中，有 100 人选修几何，70 人选修代数，30 人两门都选修。有多少名学生两门都没有选修？

如维恩图所示，集合 $A$ 和 $B$ 的元素个数相同。它们的并集有 2007 个元素，交集有 1001 个元素。求 $A$ 中元素的个数。

一个镇上有 351 个成年人，每个成年人都拥有汽车或摩托车，或者两样都有。如果有 331 个成年人拥有汽车，45 个成年人拥有摩托车，那么拥有汽车的人中，有多少人没有摩托车？

在 Euler 中学，198 名学生在一次校内公投中对两个议题进行了投票，结果如下：149 人赞成第一个议题，119 人赞成第二个议题。如果恰好有 29 名学生两个议题都投了反对票，那么有多少名学生两个议题都投了赞成票？

小于或等于 200 的正数中，有多少个是 2 的倍数且是 3 的倍数，但不是 5 的倍数？

Sanders 太太有三个孙辈，他们经常给她打电话。一个每 3 天打一次，一个每 4 天打一次，一个每 5 天打一次。2016 年 12 月 31 日，三个人都给她打了电话。在接下来的一年里，有多少天她没有接到任何一个孙辈的电话？

Alice 不肯挨着 Bob 坐，也不肯挨着 Carla 坐。Derek 不肯挨着 Eric 坐。在这些条件下，他们五个人坐在一排 5 把椅子上，一共有多少种坐法？

很多州的标准车牌格式是：先是三个字母，后面跟着三个数字。假设每种“三个字母加三个数字”的排列出现的可能性都相同，那么这样一块车牌至少含有一个回文（即三个字母的排列或三个数字的排列从左往右读和从右往左读都一样）的概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$。

有 20 名学生参加一个课后项目，项目开设瑜伽、桥牌和绘画三门课。每名学生至少要上这三门课中的一门，但也可以上两门或三门都上。上瑜伽的有 10 人，上桥牌的有 13 人，上绘画的有 9 人。至少上两门课的学生有 9 人。三门课都上的学生有多少人？

Berkeley 数学系要给学生分配导师。如果有 7 名不同的学生和 3 位不同的导师，每名学生恰好有一位导师，那么要使每位导师至少带一名学生，一共有多少种分配方法？

如果一个数是合数，但不能被 2、3 或 5 整除，就称它为“像质数的数”。最小的三个像质数的数是 49、77 和 91。小于 1000 的质数有 168 个。小于 1000 的像质数的数有多少个？

集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ 有多少个不同的子集，与集合 $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$、$\{3, 6, 9, 12\}$ 和 $\{2, 3, 5, 7, 11\}$ 中的每一个都至少有一个公共元素？