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Mastering
AMC 8
组合计数 · 第 6 章

补集计数

“至少一个”不好数的时候，就数它的对立面，再从总数里减掉。

这一章讲什么？
你需要先会
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6.10%

补集计数基础

在本节中，你将能够 先数出你想要的情况的对立面，再从总数里减掉它。

有多少个三位数至少含有一个 7？分别去数含一个 7、两个 7、三个 7 的数，工作量很大。有没有捷径？

补集计数（正难则反）的意思是：先数出你想要的情况的对立面，再从总数里减掉它：

注意：想要的 = 全部 − 对立面。

看到 “至少” 这两个字，就是一个大信号。“至少有一个 7”的对立面是“一个 7 也没有”，而后者很好数。

动手探索先玩，再学公式

全部 900（所有 3 位数）− 648（一个 7 也没有）= 252（至少有一个 7）

特定数字7
位数3
题目要数的是：
全部：900 （所有 3 位数）
107117127137147157167170171172173174175176177178179187197207217227237247257267270271272273274275276277278279287297307317327337347357367370371372373374375376377378379387397407417427437447457467470471472473474475476477478479487497507517527537547557567570571572573574575576577578579587597607617627637647657667670671672673674675676677678679687697700701702703704705706707708709710711712713714715716717718719720721722723724725726727728729730731732733734735736737738739740741742743744745746747748749750751752753754755756757758759760761762763764765766767768769770771772773774775776777778779780781782783784785786787788789790791792793794795796797798799807817827837847857867870871872873874875876877878879887897907917927937947957967970971972973974975976977978979987997100101102103104105106108109110111112113114115116118119120121122123124125126128129130131132133134135136138139140141142143144145146148149150151152153154155156158159160161162163164165166168169180181182183184185186188189190191192193194195196198199200201202203204205206208209210211212213214215216218219220221222223224225226228229230231232233234235236238239240241242243244245246248249250251252253254255256258259260261262263264265266268269280281282283284285286288289290291292293294295296298299300301302303304305306308309310311312313314315316318319320321322323324325326328329330331332333334335336338339340341342343344345346348349350351352353354355356358359360361362363364365366368369380381382383384385386388389390391392393394395396398399400401402403404405406408409410411412413414415416418419420421422423424425426428429430431432433434435436438439440441442443444445446448449450451452453454455456458459460461462463464465466468469480481482483484485486488489490491492493494495496498499500501502503504505506508509510511512513514515516518519520521522523524525526528529530531532533534535536538539540541542543544545546548549550551552553554555556558559560561562563564565566568569580581582583584585586588589590591592593594595596598599600601602603604605606608609610611612613614615616618619620621622623624625626628629630631632633634635636638639640641642643644645646648649650651652653654655656658659660661662663664665666668669680681682683684685686688689690691692693694695696698699800801802803804805806808809810811812813814815816818819820821822823824825826828829830831832833834835836838839840841842843844845846848849850851852853854855856858859860861862863864865866868869880881882883884885886888889890891892893894895896898899900901902903904905906908909910911912913914915916918919920921922923924925926928929930931932933934935936938939940941942943944945946948949950951952953954955956958959960961962963964965966968969980981982983984985986988989990991992993994995996998999
全部：900
我们要数：至少有一个 7
直接数
要相加 3 种情况
7 的个数：1, 2, 3
数对立面
1 种情况，再做 1 次减法
7 的个数：0

全部：900（所有 3 位数）

认识概念

注 6.1.1

用补集计数时，你常常还要用到下面这个事实：从 nn 个物品中选出任意多个（可以一个都不选），方法数是

2n.2^n.

每个物品都有 2 种选择：在这一组里，或者不在。

看例题先预测，再揭晓

例 6.1

我掷 2 个均匀的六面骰子。点数之和为 11 或更小的情况有多少种？

全部 36（掷 2 个骰子的所有结果）− 1（和大于 11）= 35（和不超过 11）

和11
题目要数的是：
全部：36 （掷 2 个骰子的所有结果）
112233445566223344556677334455667788445566778899556677889910106677889910101111778899101011111212
全部：36
我们要数：和不超过 11
直接数
要相加 10 种情况
和：2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
数对立面
1 种情况，再做 1 次减法
和：12

全部：36（掷 2 个骰子的所有结果）

  1. 1

    你可以把从 2 到 11 的每个和都数一遍，但那样太慢了。掷出的和为 11 或更小，它的对立面是什么？

    先预测一下：

例 6.2

Omega Learn

你有 7 张纸条，分别写着 1 到 7。从中任意选出一个子集，使得其中至少有 2 个奇数和 1 个偶数，有多少种选法？

  1. 1

    把纸条分成奇数和偶数两组。奇数纸条有几张？

    先预测一下：
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例 6.3

AMC 10

掷一个不均匀的骰子时，掷出偶数的可能性是掷出奇数的 3 倍。把这个骰子掷两次。两次点数之和为偶数的概率是多少？

  1. 1

    掷一次，得到偶数的概率是多少？

    先预测一下：
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例 6.4

AIME

如果一个正整数的十进制表示中至少有两个数字，并且每个数字都小于它右边的任何数字，就称它为递增数。递增的正整数有多少个？

  1. 1

    递增数里可以有数字 0 吗？

    先预测一下：
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自己做

习题 6.3.1

抛 4 枚硬币，至少出现 1 个正面的情况有多少种？

习题 6.3.2

抛 4 枚硬币，至少出现 2 个正面的情况有多少种？

习题 6.3.3

有多少个三位数至少含有一次数字 5？

习题 6.3.5

从 5 名女性和 3 名男性中选出 3 人组成一组，要求组里至少有 1 名男性，有多少种选法？

竞赛角真实竞赛题

习题 6.3.10

AMC 12

{2,3,4,5,6,7,8,9}\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} 有多少个子集至少含有一个质数？

过关检测（第 6.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

有多少个两位数至少含有一个 7？

2

{1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} 有多少个子集至少含有一个偶数？

3

Zara 收藏了 4 颗弹珠：一颗玛瑙珠、一颗大黄蜂珠、一颗钢珠和一颗老虎珠。她想把它们在架子上摆成一排，但不想让钢珠和老虎珠挨在一起。她有多少种摆法？

6.20%

补集计数与分类讨论

在本节中，你将能够 把补集计数和分类讨论、概率结合起来使用。

你掷 4 个骰子。至少有一个骰子是 6 的概率是多少？把恰好一个、两个、三个、四个 6 的情况全部列出来，太痛苦了。而一个 6 也没有的概率要好算得多！

有时候连对立面也要分几种情况。没关系：对对立面分类讨论，把各种情况加起来，再用总数减掉。

对概率来说，同样的想法变成：至少一个的概率等于 1 减去一个也没有的概率。

动手探索先玩，再学公式

1 个骰子：P(至少一个 6) = 1 − (5/6)^1 = 1 − 5/6 = 1/6 ≈ 16.7%

骰子个数1
?
P(没有 6) = (56)1\left(\tfrac{5}{6}\right)^{1}
P(至少一个 6) ≈ 16.7%
0%50%100%123456789101112

1 个骰子：P(没有 6) = 5/6；P(至少一个 6) = 1/6 ≈ 16.7%

认识概念

注 6.2.1

很多时候，补集计数要和其他方法一起用，比如分类讨论和概率。对概率来说，补集法则是

P(至少一个)=1−P(一个也没有).P(\text{至少一个}) = 1 - P(\text{一个也没有}).

看例题先预测，再揭晓

例 6.5

我掷 2 个均匀的六面骰子。点数之和为 5 或更大的概率是多少？

全部 36（掷 2 个骰子的所有结果）− 6（和小于 5）= 30（和至少为 5）

和5
题目要数的是：
全部：36 （掷 2 个骰子的所有结果）
112233445566223344556677334455667788445566778899556677889910106677889910101111778899101011111212
全部：36
我们要数：和至少为 5
直接数
要相加 8 种情况
和：5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
数对立面
3 种情况，再做 1 次减法
和：2, 3, 4

全部：36（掷 2 个骰子的所有结果）

  1. 1

    你可以对和为 5 到 12 分类讨论，但有更快的方法。掷出的和为 5 或更大，它的对立面是什么？

    先预测一下：

例 6.6

集合 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} 有多少个子集至少含有 1 个偶数，并且不包含全部元素？

  1. 1

    怎样用补集计数？

例 6.7

Omega Learn

一个飞镖盘分成 3 个区域。射中最外圈得 2 分，射中中间圈得 5 分，射中最内圈得 10 分。射中最内圈的概率是 14\frac14，射中中间圈的概率是 38\frac38，射中最外圈的概率是 28\frac28，完全没射中飞镖盘的概率是 18\frac18。你向飞镖盘投 3 支飞镖。总得分少于 20 分的概率是多少？

  1. 1

    “少于 20 分”有很多种情况。它的对立面是什么？

    先预测一下：
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自己做

习题 6.3.4

有多少个三位数至少有 2 个数字相同？

习题 6.3.7

有多少个四位数不是回文数？回文数是指从前往后读和从后往前读都一样的数。

习题 6.3.11

一家冰淇淋店有 9 种不同口味的冰淇淋。Joe 想买 2 球或 3 球口味各不相同的冰淇淋。他不喜欢其中两种口味——芒果和巧克力——放在一起，所以不会同时买这两种。他有多少种买法？

竞赛角真实竞赛题

习题 6.3.6

AMC 8

一个盒子里有五张卡片，分别写着 1、2、3、4 和 5。从盒子里随机取出三张卡片（不放回）。取出的卡片中最大的数是 4 的概率是多少？

习题 6.3.9

AMC 8

在一个正八边形中，随机选出三个顶点并把它们连起来，组成一个三角形。这个三角形至少有一条边也是正八边形的边的概率是多少？

习题 6.3.12（补充题）

AMC 10

Una 同时掷 6 个标准的六面骰子，并计算得到的 6 个数的乘积。这个乘积能被 4 整除的概率是多少？

过关检测（第 6.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

你掷 2 个均匀的六面骰子。点数之和为 4 或更大的概率是多少？

2

你抛 3 枚均匀的硬币。至少得到一个正面的概率是多少？

3

你有 6 个一模一样的梨和 5 个一模一样的苹果。你随机选出 4 个水果。至少选到 1 个梨的概率是多少？

6.3

练习题

在本节中，你将能够 在各种竞赛题中运用补集计数。

来混合练习吧！下面每道题问的都是“至少”“不”或者“少于”。动手数之前，先问问自己：对立面是不是更好数？

想在一页上看到本章的所有题目吗？打开习题集。

综合练习

习题 6.3.14（补充题）

一个袋子里有 10 张纸条，上面写着 1 到 5 的数，每张纸条被抽到的可能性相同。你抽出一张纸条，然后马上把它放回袋子里。至少要抽多少次，才能使抽到数字 3 的概率至少为 12\frac12？

习题 6.3.15（补充题）

你有 6 个一模一样的梨和 5 个一模一样的苹果。你随机选出 4 个水果。至少选到 1 个梨的概率是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 6.3.8

Omega Learn Math Contest

Alice、Bob、Claire、Dave、Emma 围坐在一张圆桌旁。Alice 不肯坐在 Bob 旁边。他们围着桌子有多少种不同的坐法？（同一种坐法旋转后不算作不同的坐法。）

习题 6.3.13（补充题）

AMC 8

Zara 收藏了 4 颗弹珠：一颗玛瑙珠、一颗大黄蜂珠、一颗钢珠和一颗老虎珠。她想把它们在架子上摆成一排，但不想让钢珠和老虎珠挨在一起。她有多少种摆法？