1. 排列 · Mastering AMC 8

1.10%

排列的定义

在本节中，你将能够 通过逐个填空位并把选择数相乘，来数出排列的个数。

你的自行车锁有 3 个转盘，每个转盘上显示 0 到 9 中的一个数字。小偷最多要试多少个密码？先猜一猜：是 30？100？还是 1000？

当东西的顺序很重要时，我们把每一种排法叫作一个排列。这一章的核心想法很简单：逐个填空位，然后把每个空位的选择数相乘。

动手探索先玩，再学公式

第 1 位

?

10

种选择

第 2 位

?

10

种选择

第 3 位

?

10

种选择

10 × 10 × 10 = 1,000 个密码

树形图：每一条路径都是这 1,000 个密码中的一个

每一层是一个空位。对于每一个分支，下一个空位的选择数都一样，所以叶子的个数是相乘得到的： $10 \times 10 \times 10 = 1{,}000$ .

试一试： 删掉空位，直到只剩 1 个。有多少种密码？现在添加第 2 个空位。个数发生了什么变化？
试一试： 打开树形图。数一数每个点伸出几根树枝。为什么最后的叶子数是相乘得到的？
试一试： 做一个 3 位密码，要求每一位都是奇数（把每个空位都设成 5 种选择）。先预测个数，再看答案。
试一试： 添加第 4 个空位。在新的总数出现之前，先预测一下。

认识概念

定义 1.1.1

排列是指一组物体的一种可能的排法，其中物体的顺序是有区别的。

看例题先预测，再揭晓

例 1.1

一个 3 位密码的每一位都是 0 到 9 中的一个数字。这样的密码一共有多少种？

1
首先，1 位密码有多少种？

先预测一下：
你的预测

自己做

习题 1.6.2

各位数字都是奇数的 3 位数有多少个？

习题 1.6.3

各位数字都是偶数的 3 位数有多少个？

竞赛角真实竞赛题

习题 1.6.12

AMC 8

一种特殊的车牌开头是 3 个互不相同的字母，后面是 4 个一位数字。这样的车牌一共有多少种？

过关检测（第 1.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

1.20%

阶乘

在本节中，你将能够 用 n! 数出把 n 个不同的东西排成一排的方法数，并熟记 0! 到 6!。

Sohil 有 4 种不同的包装纸，必须全部用上，一层叠一层地包。和密码不同，他不能把同一种纸用两次。这会带来什么变化？

每用掉一样东西，下一个空位的选择就少一个。 $4 \times 3 \times 2 \times 1$ 这样的乘法太常见了，所以它有了自己的名字和符号： $4!$ ，读作“4 的阶乘”。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把 4 本书一本一本放到书架上。看看每个位置下面的数字。为什么它每次减少 1？
试一试： 打开“显示全部 24 种顺序”，然后按播放。每种顺序是不是恰好出现一次？
试一试： 设成 5 本书。在放书之前，先预测有多少种顺序。
试一试： 在阶乘表上试试闪卡模式，直到你记住 0! 到 6!。

认识概念

定义 1.2.1 · 阶乘

一个正整数的阶乘，是所有小于或等于它的正整数的乘积。换句话说，

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1.

注 1.2.2

参加数学竞赛时，要记住这些阶乘，能帮你节省很多时间：

$0!$	$1!$	$2!$	$3!$	$4!$	$5!$	$6!$
$1$	$1$	$2$	$6$	$24$	$120$	$720$

用上面互动工具里的闪卡模式来练习吧。

定义 1.2.3

复习一下：排列是指一组物体的一种可能的排法，其中物体的顺序是有区别的。把全部 $n$ 个物体排成一排，就是最大的排列。

定理 1.2.4

把 $n$ 个互不相同的物体排成一排，方法数就是

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1.

看例题先预测，再揭晓

例 1.2

Sohil 有 4 种不同颜色的包装纸，每种颜色 1 张：红色、橙色、绿色和蓝色。他要把这 4 张纸全部包在一个盒子外面，顺序随意。他一共有多少种包法？

1
从最里面一层开始。这一层的颜色有多少种选法？

先预测一下：
你的预测

例 1.3

把 4 本不同的书放在书架上，有多少种排法？

1
书架上的第一本书有多少种选择？

先预测一下：
你的预测

例 1.4

有 4 个不同的 AMC 8 视频。班上每个学生观看这些视频的顺序都不一样。这个班最多有多少个学生？

1
每个学生都要看完全部 4 个视频。我们真正要数的是什么？

先预测一下：

在 YouTube 上打开

自己做

习题 1.6.8

把 5 本不同的书放在书架上，有多少种排法？

竞赛角真实竞赛题

习题 1.6.15

AMC 8

Dragonvale 中学的国际象棋队由两名男生和三名女生组成。一位摄影师要给这支队伍拍一张照片，登在当地报纸上。她决定让他们坐成一排，两端各坐一名男生，三名女生坐在中间。这样的排法有多少种？

习题 1.6.16

AMC 8

Chang 教授的书架上排着九本不同的外语书：两本阿拉伯语、三本德语和四本西班牙语。要求阿拉伯语书放在一起、西班牙语书也放在一起，把这九本书排在书架上有多少种方法？

过关检测（第 1.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

1.30%

排列基础

在本节中，你将能够 用排列公式，数出从 n 个东西中按顺序选出 k 个的方法数。

一个 7 人俱乐部要选出一名主席、一名副主席和一名秘书。当主席和当秘书不是同一份工作，所以选人的顺序很重要。这个俱乐部有多少种方法安排这些职位？

这一次我们提前停下：只填 3 个职位，而不是全部 7 个。所以只要把倒数序列的前 3 个数相乘。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 从 7 个人中选人填满 3 个职位。每个职位各有几种选择？
试一试： 把 k 设成和 n 一样大。你得到了什么？（提示：是一个阶乘！）
试一试： 打开显示公式，然后按约分。哪些数留了下来？

认识概念

定理 1.3.1 · 排列公式

从 $n$ 个物体中取出 $k$ 个并排好顺序，方法数是

{}^{n}P_{k} = \frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-(k-1)).

看例题先预测，再揭晓

例 1.5

Sam 有 5 枚不同的邮票，他要做一张圣诞卡，在卡上把 3 枚不同的邮票排成一行。他能做出多少种不同的圣诞卡设计？

1
这一行的第一枚邮票有多少种选择？

先预测一下：
你的预测

在 YouTube 上打开

例 1.6

计算 ${}^{7}P_{3}$ 。

1
把 ${}^{7}P_{3}$ 和公式 ${}^{n}P_{k}$ 对比一下。 $n$ 和 $k$ 分别是多少？

先预测一下：
你的预测: n你的预测: k

例 1.7

从 7 个人中选出一名主席、一名副主席和一名秘书，有多少种选法？

1
这道题可以怎么入手？

自己做

习题 1.6.1

计算 ${}^{6}P_{3}$ 和 ${}^{7}P_{2}$ 。

习题 1.6.5

有 Alice、Betty 和 Chase 三个人，你要从中选出两人分别担任数学社的社长和副社长，有多少种选法？

习题 1.6.6

从 8 个人中选出一名主席、一名副主席和一名秘书，有多少种选法？

习题 1.6.9

从 5 本书中选出你最喜欢的一本和第二喜欢的一本，有多少种选法？

习题 1.6.10

一场数学竞赛有 10 名学生参加。选出第一、第二、第三名获奖者，有多少种方法？

习题 1.6.13

学校举行一场赛跑，有 12 名学生参加。如果不会出现并列，颁发金牌、银牌和铜牌有多少种不同的方法？

过关检测（第 1.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

1.40%

数字排列

在本节中，你将能够 从限制最多的数位开始，数出满足数字规则的数的个数。

密码、车牌、电话号码：都是“填空位”的问题。但数有一个陷阱：首位不能是 0。

数字问题总带着规则：奇数、偶数、互不相同、首位不能为 0。窍门是先填最挑剔的空位，这样每个空位的选择数都是固定的。

注意：如果某个空位的选择数取决于你前面选了什么，就换一个填空位的顺序。

动手探索先玩，再学公式

位数4

第 1 位

9

种选择

第 2 位

9

种选择

第 3 位

8

种选择

第 4 位

7

种选择

9 × 9 × 8 × 7 = 4,536

电脑验证（逐个列举）： 4,536例如 9347

试一试： 4 个数字互不相同时，为什么第一个空位有 9 种选择，而不是 10 种？
试一试： 打开“从右边开始”。第一位数字出了什么问题？
试一试： 仍然从右边开始，点第 1 位数字上的“第几步”标记，直到它又变成第 1 步。“看情况”消失了吗？
试一试： 打开回文。哪些空位不再能自由选择？

认识概念

注 1.4.1

一般来说，在这类问题中我们要先处理限制最多的条件。在例 1.8 中，如果从个位开始，我们就很难数出千位有几种选择（0 到底用过没有？）。那样就需要分类讨论，这是后面章节才会学的更高级的方法。

看例题先预测，再揭晓

例 1.8

各位数字互不相同的 4 位数有多少个？

位数4

第 1 位

9

种选择

第 2 位

9

种选择

第 3 位

8

种选择

第 4 位

7

种选择

9 × 9 × 8 × 7 = 4,536

电脑验证（逐个列举）： 4,536例如 9347

1
第一位数字有多少种选择？

先预测一下：
你的预测

例 1.9

有多少个 4 位数，满足第一位是奇数、其余 3 位是偶数，并且各位数字互不相同？

位数4

第 1 位

5

种选择

第 2 位

5

种选择

第 3 位

4

种选择

第 4 位

3

种选择

5 × 5 × 4 × 3 = 300

电脑验证（逐个列举）： 300例如 3426

1
第一位有多少种选择？第 2 位呢？

先预测一下：
你的预测: 第 1 位你的预测: 第 2 位

例 1.10

5 位回文数有多少个？回文数是指正着读和倒着读都一样的数。

位数5

第 1 位

9

种选择

第 2 位

10

种选择

第 3 位

10

种选择

第 4 位

1

照抄第 2 位

第 5 位

1

照抄第 1 位

9 × 10 × 10 × 1 × 1 = 900

电脑验证（逐个列举）： 900例如 53335

1
5 位回文数的样子是 $ABCBA$ 。哪些数位可以自由选择？

先预测一下：

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例 1.11

Omega Learn

有多少个 6 位数满足：各位数字互不相同，前 2 位都不小于 6，后 2 位都不大于 5，并且第 3 位是 7 的非零倍数？

位数6

第 1 位

4

种选择

第 2 位

3

种选择

第 3 位

?

要看情况（0–1）

第 4 位

7

种选择

第 5 位

?

要看情况（5–6）

第 6 位

?

要看情况（4–5）

要看情况！有些位的选择数会随前面的选择变化。

电脑验证（逐个列举）： 900例如 867924

注意：按这个顺序填的时候，某些位的选择数会随你前面的选择而变化。试着先填限制最多的那一位。

1
哪一位限制最多？它有多少种选择？

先预测一下：
你的预测

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自己做

习题 1.6.4

各位数字互不相同的 3 位奇数有多少个？

习题 1.6.7

求各位数字互不相同的 3 位数的个数。

习题 1.6.11

不是回文数的 4 位数有多少个？回文数是指正着读和倒着读都一样的数。

竞赛角真实竞赛题

习题 1.6.14

AMC 8

在 1000 和 9999 之间，有多少个整数的四个数字互不相同？

过关检测（第 1.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

1.50%

环排列

在本节中，你将能够 数出围着圆桌就座的方法数，转动桌子不会产生新的坐法。

5 个朋友围坐在一张圆形的披萨桌旁。如果每个人都向左挪一个座位，这算新的坐法吗？每个人的邻居都没变，所以不算！

在圆桌旁，只有“谁挨着谁”才重要。窍门是：先把一个人固定在某个位置，再把其他人围着他排好。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按 5 次旋转。有没有人换了新邻居？那么有多少种排成一排的顺序会得到同一张桌子的坐法？
试一试： 打开“把 Alex 固定在顶部”。还剩几个人需要排？这和 (5 − 1)! = 24 一致吗？
试一试： 打开“镜像算作同一种”，然后按镜像翻转。为什么要除以 2？

认识概念

定理 1.5.1 · 环排列

把 $n$ 个物体排成一圈，如果同一种排法的旋转不算作不同的排法，那么方法数是

(n-1)!

如果同一种排法的镜像（翻转）也不算作不同的排法，那么方法数是

\frac{(n-1)!}{2}.

看例题先预测，再揭晓

例 1.12

如果旋转不算作不同的排法，把 5 个人排成一圈有多少种方法？

1
大家围成一圈坐时，用什么窍门处理旋转？

例 1.13

Omega Learn

把 5 个人围成一圈，要求其中 Alex 和 Bob 两人必须挨着坐，有多少种排法？注意旋转不算作不同的排法。

1
把 Alex 和 Bob 捆在一起，看成一个整体。现在桌旁坐着几个“单位”？

先预测一下：
你的预测

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例 1.14

Omega Learn

Gauss、Pauli、Einstein、Newton、Edison 和 Faraday 围坐在一张圆桌旁。Einstein、Newton 和 Faraday 互相是对头，所以他们不肯挨着坐。在这个条件下，如果旋转不算作不同的排法，这 6 位物理学家有多少种坐法？

对头是 Einstein、Newton 和 Faraday。交换座位，找出一种没有两个对头挨着的坐法。

1
如果没有“对头”这条规则，有多少种坐法？

先预测一下：
你的预测

竞赛角真实竞赛题

习题 1.6.19

Omega Learn Math Competition

Alice、Bob、Claire、Dave 和 Emma 围坐在一张圆桌旁。Alice 不肯挨着 Bob 坐。他们围着桌子有多少种不同的坐法？（同一种坐法旋转后不算作不同的坐法。）

过关检测（第 1.5 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

1.6

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用本章的所有技巧。

是时候把所有方法混在一起用了！这些题会用到空位、阶乘、排列公式、数字规则和圆桌，有时一题里全都有。每道题都有三条提示，卡住时可以看看。

想在一页里看到本章的所有题目？打开习题集。

综合练习

习题 1.6.20（补充题）

Omega Learn

7 个人排成一排拍照。如果最高的 2 个人必须站在第 1 和第 7 个位置（顺序不限），最矮的人必须站在正中间，他们有多少种排法？

竞赛角真实竞赛题

习题 1.6.17

MATHCOUNTS

数字 1、2、3、4 的排列中，有多少个满足 1 在 3 前面并且 2 在 4 前面？比如 2134 就是一个这样的排列。

习题 1.6.18

AMC 10

Alice 不肯挨着 Bob 坐，也不肯挨着 Carla 坐。Derek 不肯挨着 Eric 坐。在这些条件下，这五个人坐在一排 5 把椅子上，有多少种坐法？

习题 1.6.21（补充题）

EMCC 2014

五个互不相同的男孩和四个互不相同的女孩要围着一张桌子一起吃午饭。他们决定一个一个地坐下，并遵守以下条件：当已经坐下的男孩比女孩多时，男孩不能坐下；当已经坐下的女孩比男孩多时，女孩不能坐下。入座的顺序一共有多少种可能？